9.3. График функции распределения

Доказанные свойства позволяют представить, как выглядит график функции распределения непрерывной случайной величины. График расположен в полосе, ограниченной прямыми у = 0, у = 1 (первое свойство).

При возрастании х в интервале (а, b), в котором заключены все возможные значения случайной величины, график «подымается вверх» (второе свойство).

Рис. 9.3

При х  а ординаты графика равны нулю; при x  b ординаты графика равны единице (третье свойство). График функции распределения непрерывной случайной величины изображен на рис. 9.3.

Замечание. График функции распределения дискретной случайной величины имеет ступенчатый вид.

Пример. Дискретная случайная величина X задана таблицей распределения

X	1	4	8
p	0,3	0,1	0,6

Найти функцию распределения и вычертить ее график.

Решение. Если х  1, то F(х) = 0 (третье свойство).

Если 1 < х  4, то F(х) = 0,3. Действительно, X может принять значение 1 с вероятностью 0,3.

Если 4 < х  8, то F(х) = 0,4. Действительно, если х₁ удовлетворяет неравенству 4 < х₁  8, то F(х₁) равно вероятности события X < х₁, которое может быть осуществлено, когда X примет значение 1 (вероятность этого события равна 0,3) или значение 4 (вероятность этого события равна 0,1). Поскольку эти два события несовместны, то по теореме сложения вероятность события X < х₁ равна сумме вероятностей 0,3 + 0,1 = 0,4.

Если х > 8, то F(х) = 1. Действительно, событие X  8 достоверно, следовательно, его вероятность равна единице.

Рис. 9.4

Итак, функция распределения аналитически может быть записана так:

График этой функции приведен на рис. 9.4.

Пример. В урне 8 шаров, из которых 5 белых, остальные – черные. Из нее вынимают наудачу 3 шара. Найти функцию распределения числа белых шаров в выборке F(х) и построить ее график.

Решение. Будем задавать различные значения х и находить для них F(х) = Р(X < x):

1. Если х  0, то, очевидно, F(х) = Р(X < 0) = 0;

2. Если 0 < х  1, то F(х) = Р(X < х) = Р(X = 0) = 1/56;

3. Если 1 < х  2, то F(х) = Р(X = 0) + Р(X = 1) = 1/56 + 15/56 = 16/56;

4. Если 2 < х  3, то F(х) = Р(X = 0) + Р(X = 1) + Р(X = 2)= 1/56 + 15/56 + 30/56 = 46/56;

5. Если х > 3, то F(х) = Р(X = 0) + Р(X = 1) + Р(X = 2) + Р(X = 3) = 46/56 + 10/56 = 1. Итак,

Строим график F(х), рис. 9.5.

Рис. 9.5

Как видно, функция распределения дс.в. Х есть разрывная, со скачками p_i в точках x_i, функция, «непрерывная слева» (при подходе к точке разрыва слева функция F(х) сохраняет значение). Ее график имеет ступенчатый вид.

Отметим, что пользуясю равенством (9.5), функцию распределения можно сразу записать в виде

10. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины

10.1. Определение плотности распределения

Выше непрерывная случайная величина задавалась с помощью функции распределения. Этот способ задания не является единственным. Непрерывную случайную величину можно также задать, используя другую функцию, которую называют плотностью распределения или плотностью вероятности (иногда ее называют дифференциальной функцией).

Определение. Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины X называют функцию f(х) – первую производную от функции распределения F(х):

f(х) = F' (х).

Из этого определения следует, что функция распределения является первообразной для плотности распределения.

Заметим, что для описания распределения вероятностей дискретной случайной величины плотность распределения неприменима.

Установим вероятностный смысл плотности распределения. Из определения производной следует

Но согласно формуле (9.2), . Эта разность определяет вероятность того, чтоХ примет значение, принадлежащее интервалу . Отношениепредставляет собой среднюю вероятность, которая приходится на единицу длины участка, то есть среднюю плотность распределения вероятности. Таким образом, предел отношения вероятности того, чтонепрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу, к длине этого интервала (прих  0) равен значению плотности распределения в точке х. Тогда

, (10.1)

то есть плотность распределения есть предел отношения вероятности попадания с.в. в промежуток к длинех этого промежутка, когда х стремится к нулю. Из равенства (10.1) следует, что

.

Из дифференциального исчисления известно, что приращение функции приближенно равно дифференциалу функции, то есть . Тогда плотность вероятности определяется как функцияf(х), удовлетворяющая условию ; выражениеf(х)dx называется элементом вероятности.

Вероятностный смысл равенства

.

таков: вероятность того, что случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу , приближенно равна (с точностью до бесконечно малых высшего порядка относительнох) произведению плотности вероятности в точке х на длину интервала х.

Геометрически этот результат можно истолковать так: вероятность того, что случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу , приближенно равна площади прямоугольника с основаниемх и высотой f(х).

На рис. 10.1 видно, что площадь заштрихованного прямоугольника, равная произведению f(х)х, лишь приближенно равна площади криволинейной трапеции (истинной вероятности, определяемой определенным интегралом ). Допущенная при этом погрешность равна площади криволинейного треугольникаABC.

Рис. 10.1

Отметим, что плотность f(х) аналогична таким понятиям, как плотность распределения масс на оси абсцисс или плотность тока в теории электричества.