Функция распределения вероятностей случайной величины

9.1. Определение функции распределения

Дискретная случайная величина может быть задана перечнем всех ее возможных значений и их вероятностей. Такой способ задания не является общим: он неприменим, например, для непрерывных случайных величин, поскольку для нее нельзя даже перечислить все ее возможные значения. Кроме того, как будет показано позже, вероятность каждого отдельно взятого значения н.с.в. равна нулю! Представим себе вероятность того, что рост мужчины – н.с.в. – точно равен метров; купленная лампа проработает – н.с.в. – ровно 900 часов;… Удивительно интересный факт:событие возможное, но имеет нулевую вероятность.

Действительно, рассмотрим случайную величину X, возможные значения которой сплошь заполняют интервал (а, b). Можно ли составить перечень всех возможных значений X? Очевидно, что этого сделать нельзя. Этот пример указывает на целесообразность дать общий способ задания любых типов случайных величин. С этой целью и вводят функции распределения вероятностей случайной величины.

Для характеристики поведения н.с.в. целесообразно использовать вероятность события {X < x} (а не {X = x}), где х – некоторое действительное число. С точки зрения практики нас мало интересует событие, состоящее в том, что лампочка проработает ровно 900 часов, то есть Х = 900. Более важным является событие вида {X < 900} (или {X > 900}). Такое событие имеет ненулевую вероятность; при изменении х вероятность события {X < x} в общем случае будет меняться. Следовательно, вероятность события, состоящего в том, что X примет значение, меньшее х, т.е Р{X < x} является функцией от х.

Универсальным способом задания закона распределения вероятностей, пригодным как для дискретных, так и для непрерывных случайных величин, является ее функция распределения, обозначаемая F_Х(х) (или просто F(х) без индекса, если ясно, о какой с.в. идет речь), т.е. F(х) – функция от х.

Определение. Функцией распределения называют функцию F(х), определяющую вероятность того, что случайная величина X в результате испытания примет значение, меньшее х, т.е.

. (*)

F(х) для любого числа x  R равна вероятности события {X < x}. Функцию F(х) называют также интегральной функцией распределения.

Геометрически это равенство можно истолковать так: F(х) есть вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки х, то есть случайная точка Х попадет в интервал (- , х), см. рис. 9.1.

Рис. 9.1

Уточним определение непрерывной случайной величины: случайную величину называют непрерывной, если ее функция распределения есть непрерывная, кусочно-дифференцируемая функция с непрерывной производной.

9.2. Свойства функции распределения

Свойство 1. F(х) ограничена, то есть значения функции распределения принадлежат отрезку [0, 1]:

0  F(х)  1.

Свойство вытекает из определения функции распределения как вероятности: вероятность всегда есть неотрицательное число, не превышающее единицы.

Свойство 2. F(х) – неубывающая функция на R, т.е.

F(x₂)  F(x₁), если х₂ > х₁.

Доказательство. Пусть х₂ > х₁. Событие, состоящее в том, что X примет значение, меньшее х₂, можно подразделить на следующие два несовместных события:

1) X примет значение, меньшее х₁, с вероятностью Р(X < х₁);

2) X примет значение, удовлетворяющее неравенству х₁ X < х₂, с вероятностью Р(х₁ X < х₂). По теореме сложения имеем

.

Отсюда

.

или

. (9.1)

Так как любая вероятность есть число неотрицательное, то F(x₂) – F(x₁)  0, или F(x₂)  F(x₁), что и требовалось доказать.

Следствие 1. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале (а, b), равна приращению функции распределения на этом интервале:

. (9.2)

Это важное следствие вытекает из формулы (9.1), если положить х₂ = b и x₁ = a.

Рис. 9.2

Пример. Случайная величина X задана функцией распределения

Найти вероятность того, что в результате испытания X примет значение, принадлежащее интервалу (0, 2):

Р(0 < Х < 2) = F(2) – F(0).

Решение. Так как на интервале (0, 2), по условию, F(x) =x/4 + 1/4, то

Итак, Р(0< X < 2)= 1/2.

Следствие 2. Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет одно определенное значение, равна нулю.

Действительно, положив в формуле (9.2) а = х₁, b = х₁ + х, имеем

.

Устремим х к нулю. Так как X – непрерывная случайная величина, то функция F(x) непрерывна. В силу непрерывности F(х) в точке x₁ разность также стремится к нулю; следовательно,Р(X = х₁) = 0. Используя это положение, легко убедиться в справедливости равенств

(9.3)

Например, равенство доказывается так:

.

Таким образом, не представляет интереса говорить о вероятности того, что непрерывная случайная величина примет одно определенное значение, но имеет смысл рассматривать вероятность попадания ее в интервал, пусть даже сколь угодно малый. Этот фак полностью соответствует требованиям практических задач. Например, интересуются вероятностью того, что размеры деталей не выходят за дозволенные границы, но не ставят вопроса о вероятности их совпадения с проектным размером.

Заметим, что было бы неправильным думать, что равенство нулю вероятности Р(X =х₁) означает, что событие X =х₁ невозможно (если, конечно, не ограничиваться классическим определением вероятности). Действительно, в результате испытания случайная величина обязательно примет одно из возможных значений; в частности, это значение может оказаться равным х₁.

Свойство 3. Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (а, b), то: 1) F(x) = 0 при х  а; 2) F(x) = 1 при х  b.

Доказательство. 1) Пусть х₁  а. Тогда событие X < х₁ невозможно (так как значений, меньших х₁, величина X по условию не принимает) и, следовательно, вероятность его равна нулю.

2) Пусть х₂  b. Тогда событие X < х₂ достоверно (так как все возможные значения X меньше х₂) и, следовательно, вероятность его равна единице.

Свойство 4. Если возможные значения непрерывной случайной величины расположены на всей оси х, то справедливы следующие предельные соотношения:

.

Свойство 5. F(x) непрерывна слева, то есть

.

Всякая функция F(x), обладающая свойствами 1 – 5, может быть функцией распределения некоторой случайной величины. Заметим, что формула (9.2) справедлива и для н.с.в., и для д.с.в.

С помощью функции распределения можно вычислить вероятность события {X  x}:

. (9.4)

Можно дать более точное определение н.с.в.

Определение. Случайную величину Х называют непрерывной, если ее функция распределения непрерывна в любой точке и дифференцируема всюду, кроме, может быть, отдельных точек.

Функция распределения д.с.в. имеет вид

. (9.5)

Здесь суммирование ведется по всем i, для которых x_i < x. Равенство (9.5) непосредственно вытекает из определения (*).