7.6. Дисперсия числа появлений события в независимых испытаниях

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна. Чему равна дисперсия числа появлений события в этих испытаниях? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Теорема. Дисперсия числа появлений события А в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность р появления события постоянна, равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события в одном испытании:

D(X) = npq.

Доказательство. Рассмотрим случайную величину X – число появлений события А в n независимых испытаниях. Очевидно, общее число появлений события в этих испытаниях равно сумме появлений события в отдельных испытаниях:

X = X₁ + X₂ +…+ X_n,

где Х₁ – число наступлений события в первом испытании, X₂ – во втором, ..., Х_n – в n-м. Величины X₁, X₂,…, X_n взаимно независимы, так как исход каждого испытания не зависит от исходов остальных, поэтому мы вправе воспользоваться следствием 1:

D(X) = D(X₁) + D(X₂) +…+ D(X_n). (7.1)

Вычислим дисперсию Х₁ по формуле

. (7.2)

Величина Х₁ – число появлений события А в первом испытании, поэтому М(X₁) = p.

Найдем математическое ожидание величины , которая может принимать только два значения, а именно: 1² с вероятностью р и 0² с вероятностью q:

.

Подставляя найденные результаты в соотношение (7.2), имеем

D(X₁) = p – p² = p(1 – p) = pq.

Очевидно, дисперсия каждой из остальных случайных величин также равна pq. Заменив каждое слагаемое правой части (7.1) через pq, окончательно получим

D(X) = npq.

Замечание. Так как величина X распределена по биномиальному закону, то доказанную теорему можно сформулировать и так: дисперсия биномиального распределения с параметрами n и р равна произведению npq.

Пример. Производятся 10 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события равна 0,6. Найти дисперсию случайной величины X – числа появлений события в этих испытаниях.

Решение. По условию, n = 10, р = 0,6. Очевидно, вероятность непоявления события

q = 1 – 0,6 = 0,4.

Искомая дисперсия

D(X) = npq = 100,60,4 = 2,4.

7.7. Среднее квадратическое отклонение

Для оценки рассеяния возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения кроме дисперсии служат и некоторые другие характеристики. К их числу относится среднее квадратическое отклонение.

Определение. Средним квадратическим отклонением случайной величины X называют квадратный корень из дисперсии:

.

Легко показать, что дисперсия имеет размерность, равную квадрату размерности случайной величины. Так как среднее квадратическое отклонение равно квадратному корню из дисперсии, то размерность (Х) совпадает с размерностью X. Поэтому в тех случаях, когда желательно, чтобы оценка рассеяния имела размерность случайной величины, вычисляют среднее квадратическое отклонение, а не дисперсию. Например, если X выражается в линейных метрах, то (Х) будет выражаться также в линейных метрах, a D(X) – в квадратных метрах.

Пример. Случайная величина X задана законом распределения

X	2	3	10
р	0,1	0,4	0,5

Найти среднее квадратическое отклонение (Х) .

Решение. Найдем математическое ожидание X:

М(X) = 20,1 + 30,4 + 100,5 = 6,4.

Найдем математическое ожидание X²:

М(X²) = 2²0,1 + 3²0,4 + 10²0,5 = 54.

Найдем дисперсию:

D(X) = М(X²) – [М(X)]² = 54 – 6,4² = 13,04.

Искомое среднее квадратическое отклонение

.