6.5. Математическое ожидание числа появлений события в независимых испытаниях

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна р. Чему равно среднее число появлений события А в этих испытаниях? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Теорема. Математическое ожидание М(X) числа появлений события А в n независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании:

М(X) = nр.

Доказательство. Будем рассматривать в качестве случайной величины X число наступления события А в n независимых испытаниях. Очевидно, общее число X появлений события А в этих испытаниях складывается из чисел появлений события в отдельных испытаниях. Поэтому если Х₁ – число появлений события в первом испытании, Х₂ – во втором, ..., Х_n – в n-м, то общее число появлений события X = Х₁ + Х₂ + ... + Х_n.

По третьему свойству математического ожидания,

М(X) = М(Х₁) + М(Х₂) +...+ М(Х_n). (6.5)

Каждое из слагаемых правой части равенства есть математическое ожидание числа появлений события в одном испытании: М(Х₁) – в первом, М(Х₂) – во втором и т. д. Так как математическое ожидание числа появлений события в одном испытании равно вероятности события, то М(Х₁) = М(Х₂) =...= М(Х_n) = p. Подставляя в правую часть равенства (6.5) вместо каждого слагаемого р, получим

М(X) = nр. (6.6)

Замечание. Так как величина X распределена по биномиальному закону, то доказанную теорему можно сформулировать и так: математическое ожидание биномиального распределения с параметрами n и р равно произведению nр.

Пример. Вероятность попадания в цель при стрельбе из орудия p = 0,6. Найти математическое ожидание общего числа попаданий, если будет произведено 10 выстрелов.

Решение. Попадание при каждом выстреле не зависит от исходов других выстрелов, поэтому рассматриваемые события независимы и, следовательно, искомое математическое ожидание

М(X) = nр = 100,6 = 6 (попаданий).

7. Дисперсия дискретной случайной величины

7.1. Целесообразность введения числовой характеристики рассеяния случайной величины

Легко указать такие случайные величины, которые имеют одинаковые математические ожидания, но различные возможные значения. Рассмотрим, например, дискретные случайные величины X и Y, заданные следующими законами распределения:

X	– 0,01	0,01	Y	– 100	100
р	0,5	0,5	g	0,5	0,5

Найдем математические ожидания этих величин:

М(Х) = – 0,010,5 + 0,010,5 = 0,

М(Y) = – 1000,5 + 1000,5 = 0.

Здесь математические ожидания обеих величин одинаковы, а возможные значения различны, причем X имеет возможные значения, близкие к математическому ожиданию, а Y – далекие от своего математического ожидания. Таким образом, зная лишь математическое ожидание случайной величины, еще нельзя судить ни о том, какие возможные значения она может принимать, ни о том, как они рассеяны вокруг математического ожидания. Другими словами, математическое ожидание полностью случайную величину не характеризует.

По этой причине наряду с математическим ожиданием вводят и другие числовые характеристики. Так, например, для того чтобы оценить, как рассеяны возможные значения случайной величины вокруг ее математического ожидания, пользуются, в частности, числовой характеристикой, которую называют дисперсией. Прежде чем перейти к определению и свойствам дисперсии, введем понятие отклонения случайной величины от ее математического ожидания.