5.5. Геометрическое распределение

Пусть производятся независимые испытания, в каждом из которых вероятность появления события А равна р (0< р < 1) и, следовательно, вероятность его непоявления q = 1 – р. Испытания заканчиваются, как только появится событие А. Таким образом, если событие А появилось в k-м испытании, то в предшествующих k – 1 испытаниях оно не появлялось.

Обозначим через X дискретную случайную величину – число испытаний, которые нужно провести до первого появления события А. Очевидно, возможными значениями X являются натуральные числа: x₁ = 1, x₂ =2, ...

Пусть в первых k – 1 испытаниях событие А не наступило, а в k-м испытании появилось. Вероятность этого «сложного события», по теореме умножения вероятностей независимых событий,

. (5.1)

Полагая k = 1, 2, ... в формуле (5.1), получим геометрическую прогрессию с первым членом р и знаменателем q (0 < q < 1):

. (5.2)

По этой причине распределение (5.1) называют геометрическим.

Легко убедиться, что ряд (5.2) сходится и сумма его равна единице. Действительно, сумма ряда (5.1)

.

Пример. Из орудия производится стрельба по цели до первого попадания. Вероятность попадания в цель р = 0,6. Найти вероятность того, что попадание произойдет при третьем выстреле.

Решение. По условию, р = 0,6, q = 0,4, k = 3. Искомая вероятность по формуле (5.1)

.

5.6. Гипергеометрическое распределение

Прежде чем дать определение гипергеометрического распределения, рассмотрим задачу. Пусть в партии из N изделий имеется М стандартных (М < N). Из партии случайно отбирают n изделий (каждое изделие может быть извлечено с одинаковой вероятностью), причем отобранное изделие перед отбором следующего не возвращается в партию (поэтому формула Бернулли здесь неприменима). Обозначим через X случайную величину – число m стандартных изделий среди n отобранных. Очевидно, возможные значения X таковы: 0, 1, 2, ..., min(M, n).

Найдем вероятность того, что X = m, то есть что среди n отобранных изделий ровно m стандартных. Используем для этого классическое определение вероятности.

Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно извлечь n изделий из N изделий, то есть числу сочетаний .

Найдем число исходов, благоприятствующих событию Х = m (среди взятых n изделий ровно m стандартных); m стандартных изделий можно извлечь из М стандартных изделий способами; при этом остальныеn – m изделий должны быть нестандартными; взять же n – m нестандартных изделий из N – m нестандартных изделий можно способами. Следовательно, число благоприятствующих исходов равно(правило умножения).

Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию Х = m, к числу всех элементарных исходов

. (5.3)

Формула (5.3) определяет распределение вероятностей, которое называют гипергеометрическим.

Учитывая, что m – случайная величина, заключаем, что гипергеометрическое распределение определяется тремя параметрами: N, М, n. Иногда в качестве параметров этого распределения рассматривают N, n и p = M/N, где р – вероятность того, что первое извлеченное изделие стандартное.

Заметим, что если n значительно меньше N (практически если n < 0,1N), то гипергеометрическое распределение дает вероятности, близкие к вероятностям, найденным по биномиальному закону.

Пример. Среди 50 изделий 20 окрашенных. Найти вероятность того, что среди наудачу извлеченных 5 изделий окажется ровно 3 окрашенных.

Решение. По условию, N = 50, М = 20, n = 5, m = 3. Искомая вероятность

.