5.3. Биномиальное распределение

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться либо не появиться. Вероятность наступления события во всех испытаниях постоянна и равна р (следовательно, вероятность непоявления q = 1 – p). Рассмотрим в качестве дискретной случайной величины X число появлений события А в этих испытаниях.

Поставим перед собой задачу: найти закон распределения величины X. Для ее решения требуется определить возможные значения X и их вероятности. Очевидно, событие А в n испытаниях может либо не появиться, либо появиться 1 раз, либо 2 раза, ..., либо n раз. Таким образом, возможные значения X таковы: х₁ = 0, х₂ = l, х₃ = 2, ..., х_n+1 = n. Остается найти вероятности этих возможных значений, для чего достаточно воспользоваться формулой Бернулли:

,

где k = 0, 1, 2, .... n.

Формула Бернулли и является аналитическим выражением искомого закона распределения.

Определение. Биномиальным называют распределение вероятностей, определяемое формулой Бернулли. Закон назван «биномиальным» потому, что правую часть в равенстве можно рассматривать как общий член разложения бинома Ньютона:

.

Таким образом, первый член разложения рⁿ определяет вероятность наступления рассматриваемого события n раз в n независимых испытаниях; второй член nр^n-1q определяет вероятность наступления события n – 1 раз; ...; последний член qⁿ определяет вероятность того, что событие не появится ни разу.

Напишем биномиальный закон в виде таблицы:

Х	n	n – 1	…	k	…	0
р	рn	nрn-1q	…		…	qn

Пример. Монета брошена 2 раэа. Написать в виде таблицы закон распределения случайной величины X – числа выпадений «герба».

Решение. Вероятность появления «герба» в каждом бросании монеты р = 1/2, следовательно, вероятность непоявления «герба» q = 1 – 1/2 = 1/2.

При двух бросаниях монеты «герб» может появиться либо 2 раза, либо 1 раз, либо совсем не появиться. Таким образом, возможные значения X таковы: х₁ = 2, х₂ = l, х₃ = 0. Найдем вероятности этих возможных значений по формуле Бернулли:

Напишем искомый закон распределения:

Х	2	1	0
р	0,25	0,5	0,25

Контроль: 0,25 + 0,5+0,25 = 1.

5.4. Распределение Пуассона

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна р. Для определения вероятности k появлений события в этих испытаниях используют формулу Бернулли. Если же n велико, то пользуются асимптотической формулой Лапласа. Однако эта формула непригодна, если вероятность события мала (p  0,1). В этих случаях (n велико, р мало) прибегают к асимптотической формуле Пуассона.

Итак, поставим перед собой задачу найти вероятность того, что при очень большом числе испытаний, в каждом из которых вероятность события очень мала, событие наступит ровно k раз. Сделаем важное допущение: произведение nр сохраняет постоянное значение, а именно nр = . Это означает, что среднее число появлений события в различных сериях испытаний, т.е. при различных значениях n, остается неизменным.

Как было показано приизучении схемы Бернулли, эта вероятность равна

.

Эта формула выражает закон распределения Пуассона вероятностей массовых (n велико) и редких (р мало) событий. Стоит отметить, что имеются специальные таблицы, пользуясь которыми можно найти P_n(k), зная k и .

Пример. Завод отправил на базу 5000 доброкачественных изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредится, равно 0,0002. Найти вероятность того, что на базу прибудут 3 негодных изделия.

Решение. По условию, n = 5000, р = 0,0002, k = 3. Найдем :

 = nр = 5000 0,0002 = 1.

По формуле Пуассона искомая вероятность приближенно равна

.

Можно доказать, что если постоянная интенсивность потока случайных событий известна, то вероятность появления k событий простейшего потока за время длительностью t определяется формулой Пуассона

.

Эта формула отражает все свойства простейшего потока. Действительно, из формулы видно, что вероятность появления k событий за время t, при заданной интенсивности является функцией k и t, что характеризует свойство стационарности. Формула не использует информации о появлении событий до начала рассматриваемого промежутка, что характеризует свойство отсутствия последействия.

Убедимся, что формула отражает свойство ординарности. Положив k = 0 и k = 1, найдем соответственно вероятности непоявления событий и появления одного события:

.

Следовательно, вероятность появления более одного события

.

Пользуясь разложением

после элементарных преобразований получим

.

Сравнивая P_t(1) и Р_t(k > 1), заключаем, что при малых значениях t вероятность появления более одного события пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью наступления одного события, что характеризует свойство ординарности.

Итак, формулу Пуассона можно считать математической моделью простейшего потока событий.

Пример. Среднее число вызовов, поступающих на АТС в одну минуту, равно двум. Найти вероятности того, что за 5 мин поступит: а) 2 вызова; б) менее двух вызовов; в) не менее двух вызовов. Поток вызовов предполагается простейшим.

Решение. По условию,  = 2, t = 5, k = 2. Воспользуемся формулой Пуассона

.

а) Искомая вероятность того, что за 5 мин поступит 2 вызова,

.

Это событие практически невозможно.

б) События «не поступило ни одного вызова» и «поступил один вызов» несовместны, поэтому по теореме сложения искомая вероятность того, что за 5 мин поступит менее двух вызовов, равна

.

Это событие практически невозможно.

в) События «поступило менее двух вызовов» и «поступило не менее двух вызовов» противоположны, поэтому искомая вероятность того, что за 5 мин поступит не менее двух вызовов,

Р₅(k  2) = 1 – Р₅(k < 2) = 1 – 0,000495 = 0,999505.

Это событие практически достоверно.