5. Случайные величины

5.1. Понятие случайной величины. Закон распределения случайной величины

Одним из важнейших понятий теории вероятности (наряду со случайным событием и вероятностью) является понятие случайной величины.

Определение. Под случайной величиной понимаю величину, которая в результате опыта принимает то или иное значение, причем неизвестно заранее, какое именно.

Cлучайные величины (сокращенно с.в.) обозначаются прописными латинскими буквами X, Y, Z,… (или строчными греческими буквами  (кси), (эта),  (тэта), (пси) и т.д.), а их возможные значения – соответствующими строчными буквами х, у, z.

Примерами с.в. могут служить: 1) число родившихся мальчиков среди ста новорожденных есть случайная величина, которая имеет следующие возможные значения: 0, 1, 2, ..., 100;

2) расстояние, которое пролетит снаряд при выстреле из орудия, есть случайная величина. Действительно, расстояние зависит не только от установки прицела, но и от многих других причин (силы и направления ветра, температуры и т.д.), которые не могут быть полностью учтены. Возможные значения этой величины принадлежат некоторому промежутку (а, b).

3) Х – число очков, появляющихся при бросании игральной кости;

4) Y – число выстрелов до первого попадания в цель;

5) Z – время безотказной работы прибора и т.п. (рост человека, курс доллара, количество бракованных деталей в партии, температура воздуха, выигрыши игрока, координата точки при случайном выборе ее на [0; 1], прибыль фирмы, …).

В первом примере случайная величина X могла принять одно из следующих возможных значений: 0, 1, 2, . . ., 100. Эти значения отделены одно от другого промежутками, в которых нет возможных значений X. Таким образом, в этом примере случайная величина принимает отдельные, изолированные возможные значения. Во втором примере случайная величина могла принять любое из значений промежутка (а, b). Здесь нельзя отделить одно возможное значение от другого промежутком, не содержащим возможных значений случайной величины.

Уже из сказанного можно заключить о целесообразности различать случайные величины, принимающие лишь отдельные, изолированные значения, и случайные величины, возможные значения которых сплошь заполняют некоторый промежуток.

Определение. Дискретной (прерывной) называют случайную величину (сокращено д.с.в.), которая принимает отдельные, счетные возможные значения с определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным.

Определение. Если же множество возможных значений с.в. несчетно, то такая величина называется непрерывной (сокращенно н.с.в.). Непрерывная случайная величина может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Очевидно, число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно.

Случайные величины X и Y (примеры 3 и 4) являются дискретными. С.в. Z (пример 5) является непрерывной: ее возможные значения принадлежат промежутку [0, t), где t  0, правая граница не определена (теоретически t = +). Отметим, что рассматриваются также с.в. смешанного типа.

Дадим теперь строгое определение с.в., исходя из теоретико-множественной трактовки основных понятий теории вероятностей.

Определение. Случайной величиной Х называется числовая функция, определенная на пространстве элементарных событий (ПЭС) , которая каждому элементарному событию  ставит в соответствие число Х(), то есть Х = Х(), (или Х = f()).

Пример. Опыт состоит в бросании монеты 2 раза. На ПЭС  = {₁, ₂, ₃, ₄}, где ₁ = ГГ, ₂ = ГР, ₃ = РГ, ₄ = РР, можно рассмотреть с.в. Х – число появлений герба. С.в. Х является функцией от элементарного события _i: Х(₁) = 2, Х(₂) = 1, Х(₃) = 1, Х(₄) = 0; Х – д.с.в. со значениями х₁ = 0, х₂ = 1, х₃ = 0.

Отметим, что если множество  конечно или счетно, то случайной величиной является любая функция, определенная на . В общем случае функция Х() должна быть такова, чтобы для любых х  R событие A = {: Х() < x} принадлежало -алгебре множеств S и, значит, для любого такого события была определена вероятность Р(А) = Р(Х < x).