
- •Теория вероятностей и математическая статистика Основные понятия теории вероятностей Рекомендуемая литература
- •1.1. Предмет теории вероятностей
- •1.2. Области применения теории вероятностей
- •1.3. Краткая историческая справка
- •1.4. Испытания и события. Виды событий
- •1.5. Алгебра событий
- •1.6. Классическое определение вероятности
- •1.7. Основные формулы комбинаторики
- •Лекция №2. Основные понятия и определения
- •2.1. Относительная частота. Устойчивость относительной частоты
- •2.2. Ограниченность классического определения вероятности. Статистическая вероятность
- •2.3. Геометрические вероятности
- •2.4. Теорема сложения вероятностей
- •2.5. Полная группа событий
- •2.6. Противоположные события
- •2.7. Принцип практической невозможности маловероятных событий
- •2.8. Произведение событий. Условная вероятность
- •2.9. Теорема умножения вероятностей
- •2.10. Независимые события. Теорема умножения для независимых событий
- •2.10. Вероятность появления хотя бы одного события
- •Лекция №3 следствия теорем сложения и умножения
- •3.1. Теорема сложения вероятностей совместных событий
- •3.2. Формула полной вероятности
- •3.3. Вероятность гипотез. Формулы Бейеса
- •4. Повторение испытаний
- •4.1. Формула Бернулли
- •4.2. Предельные теоремы в схеме Бернулли
- •4.3. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа
- •4.3. Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях
- •5. Случайные величины
- •5.1. Понятие случайной величины. Закон распределения случайной величины
- •5.2. Закон распределения дискретной случайной величины. Многоугольник распределения
- •5.3. Биномиальное распределение
- •5.4. Распределение Пуассона
- •5.5. Геометрическое распределение
- •5.6. Гипергеометрическое распределение
- •6. Математическое ожидание дискретной случайной величины
- •6.1. Числовые характеристики дискретных случайных величин
- •6.2. Математическое ожидание дискретной случайной величины
- •6.3. Вероятностный смысл математического ожидания
- •6.4. Свойства математического ожидания
- •6.5. Математическое ожидание числа появлений события в независимых испытаниях
- •7. Дисперсия дискретной случайной величины
- •7.1. Целесообразность введения числовой характеристики рассеяния случайной величины
- •7.2. Отклонение случайной величины от ее математического ожидания
- •7.3. Дисперсия дискретной случайной величины
- •7.4. Формула для вычисления дисперсии
- •7.5. Свойства дисперсии
- •7.6. Дисперсия числа появлений события в независимых испытаниях
- •7.7. Среднее квадратическое отклонение
- •7.8. Среднее квадратическое отклонение суммы взаимно независимых случайных величин
- •7.9. Одинаково распределенные взаимно независимые случайные величины
- •7.10. Начальные и центральные теоретические моменты
- •8. Закон больших чисел
- •8.1. Предварительные замечания
- •8.2. Неравенство Чебышева
- •8.3. Теорема Чебышева
- •8.4. Сущность теоремы Чебышева
- •8.5. Значение теоремы Чебышева для практики
- •8.6. Теорема Бернулли
- •Функция распределения вероятностей случайной величины
- •9.1. Определение функции распределения
- •9.2. Свойства функции распределения
- •9.3. График функции распределения
- •10. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины
- •10.1. Определение плотности распределения
- •10.2. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал
- •10.3. Закон равномерного распределения вероятностей
- •11. Нормальное распределение
- •11.1. Числовые характеристики непрерывных случайных величин
- •11.2. Нормальное распределение
- •11.3. Нормальная кривая
- •11.4. Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой
- •11.5. Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины
- •11.6. Вычисление вероятности заданного отклонения
- •11.7. Правило трех сигм
- •11.8. Понятие о теореме Ляпунова. Формулировка центральной предельной теоремы
- •11.9. Оценка отклонения теоретического распределения от нормального. Асимметрия и эксцесс
- •11.10. Функция одного случайного аргумента и ее распределение
- •11.11. Математическое ожидание функции одного случайного аргумента
- •11.12. Функция двух случайных аргументов. Распределение суммы независимых слагаемых. Устойчивость нормального распределения
- •11.13. Распределение «хи квадрат»
- •11.14. Распределение Стьюдента
- •11.15. Распределение f Фишера – Снедекора
- •12. Показательное распределение
- •12.1. Определение показательного распределения
- •12.2. Вероятность попадания в заданный интервал показательно распределенной случайной величины
- •§ 3. Числовые характеристики показательного распределения
- •12.4. Функция надежности
- •12.5. Показательный закон надежности
- •12.6. Характеристическое свойство показательного закона надежности
4.3. Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях
Вновь будем считать, что производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна р (0 < р < 1). Поставим перед собой задачу найти вероятность того, что отклонение относительной частоты m/n от постоянной вероятности р по абсолютной величине не превышает заданного числа > 0. Другими словами, найдем вероятность осуществления неравенства
. (4.15)
Эту вероятность будем обозначать так: Р(|m/n – р| ). Заменим неравенство (4.15) ему равносильными:
или
.
Умножая
эти неравенства на положительный
множитель
,
получим неравенства, равносильные
исходному:
.
Воспользуемся
интегральной теоремой Лапласа в форме
(4.14). Положив
и
,
имеем
Наконец, заменив неравенства, заключенные в скобках, равносильным им исходным неравенством, окончательно получим
. (4.16)
Итак,
вероятность осуществления неравенства
приближенно равна значению удвоенной
функции Лапласа 2Ф0(х)
при
.
Пример. Вероятность того, что деталь не стандартна, р = 0,1. Найти вероятность того, что среди случайно отобранных 400 деталей относительная частота появления нестандартных деталей отклонится от вероятности р = 0,1 по абсолютной величине не более чем на 0,03.
Решение. По условию, n = 400; p = 0,1; q = 0,9; = 0,03. Требуется найти вероятность Р(m/400 – 0,1| 0,03). Пользуясь формулой (4.16), имеем
.
По таблице приложения находим Ф0(2) = 0,4772. Следовательно, 2Ф0(2) = 0,9544. Итак, искомая вероятность приближенно равна 0,9544.
Смысл полученного результата таков: если взять достаточно большое число проб по 400 деталей в каждой, то примерно в 95,44% этих проб отклонение относительной частоты от постоянной вероятности р = 0,1 по абсолютной величине не превысит 0,03.
Пример. Вероятность того, что деталь не стандартна, р = 0,1. Найти, сколько деталей надо отобрать, чтобы с вероятностью, равной 0,9544, можно было утверждать, что относительная частота появления нестандартных деталей (среди отобранных) отклонится от постоянной вероятности р по абсолютной величине не более чем на 0,03.
Решение. По условию, p = 0,1; q = 0,9; = 0,03; Р(m/n – 0,1| 0,03) = 0,9544. Требуется найти n.
Воспользуемся формулой (4.16). В силу условия
.
Следовательно,
.
По таблице приложения находим Ф0(2)
= 0,4772. Для отыскания числа n
получаем уравнение
.
Отсюда искомое число деталейn
= 400.
Смысл полученного результата таков: если взять достаточно большое число проб по 400 деталей, то в 95,44% этих проб относительная частота появления нестандартных деталей будет отличаться от постоянной вероятности р = 0,1 по абсолютной величине не более чем на 0,03, т.е. относительная частота заключена в границах от 0,07(0,1 – 0,03 = 0,07) до 0,13(0,1 + 0,03 = 0,13). Другими словами, число нестандартных деталей в 95,44% проб будет заключено между 28(7% от 400) и 52(13% от 400).
Если взять лишь одну пробу из 400 деталей, то с большой уверенностью можно ожидать, что в этой пробе будет нестандартных деталей ие менее 28 и не более 52. Возможно, хотя и маловероятно, что нестандартных деталей окажется меньше 28 либо больше 52.
Пример. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,6. Найти вероятность того, что при n = 1200 независимых выстрелах отклонение «частости» от вероятности по модулю не превышает = 0,03.
Решение.
.