4.2. Предельные теоремы в схеме Бернулли

Формула Бернулли позволяет вычислыть вероятность того, что событие появится в n испытаниях ровно m раз. При выводе мы предполагали, что вероятность появления события в каждом испытании постоянна. Использование формулы Бернулли (4.1) при больших значениях n и m вызывает большие трудности, так как это связано с громоздкими вычислениями. Так, при n = 200, m = 116, р = 0,72 формула Бернулли принимает вид . Или например, еслиn = 50, m = 30, р = 0,1, то для отыскания вероятности P₅₀(30) надо вычислить выражение , где 50! =30 414 09310⁵⁷, 30! =26 525 28610²⁵, 20! = 24 329 02010¹¹. Правда, можно несколько упростить вычисления, пользуясь специальными таблицами логарифмов факториалов. Однако и этот путь остается громоздким и к тому же имеет существенный недостаток: таблицы содержат приближенные значения логарифмов, поэтому в процессе вычислений накапливаются погрешности; в итоге окончательный результат может значительно отличаться от истинного. Получается, что подсчитать результат практически невозможно. Вычисление P_n(m) вызывает затруднения также при малых значениях p(q). Возникает необходимость в отыскании приближенных формул для вычисления P_n(m), обеспечивающих необходимую точность. Такие формулы дают предельные теоремы; они содержат так называемые асимптотические формулы, которые при больших значениях испытаний дают сколь угодно малую относительную погрешность. Рассмотрим три предельные теоремы, содержащие асимптотические формулы для вычисления биномиальной вероятности P_n(m) при n .

Теорема. Если число испытаний неограниченно увеличивается (n ) и вероятность p наступления события А в каждом испытании неограниченно уменьшается (р 0), но так, что их произведение np является постоянной величиной (np= а= const), то вероятность P_n(m) удовлетворяет предельному равенству

. (4.3)

Выражение (4.3) называется асимптотической формулой Пуассона.

Доказательство. Преобразуем формулу Бернулли (4.1) с учетом того, что :

Переходя к пределу при n , получим (согласно второму замечательному пределу).

Из предельного равенства (4.3) при больших n и малых р вытекает приближенная формула Пуассона

(4.4)

Формулу (4.4) применяют, когда вероятность p = const успеха крайне мала, то есть сам по себе успех (появление события А) является редким событием (например, выигрыш автомобиля по лотерейному билету), но количество испытаний n велико, среднее число успехов np = а незначительно. Приближенную формулу (4.4) обычно используют, когда n  50, а np  10.

Формула Пуассона находит применение в теории массового обслуживания.

Пример. Завод «Золотая балка» (Крым) отправил в Москву 1500 бутылок вина «Каберне». Вероятность того, что в пути бутылка может разбиться, равна 0,002. Найти вероятность то, что в пути будет разбито не более 4-х бутылок (событие А).

Решение. Искомая вероятность равна

.

Так как n = 1500, p = 0,002, то a = [np] = 3. Вероятность события А найдем, используя формулу Пуассона (4.4):

Формулу Пуассона можно считать математической моделью простейшего потока событий.

Определение. Потоком событий называют последовательность событий, наступающих в случайные моменты времени (например, поток посетителей в парикмахерской, поток вызовов на телефонной станции, поток отказов элементов, поток обслуженных абонентов и т.п.).

Определение. Поток событий, обладающий свойствами стационарности, ординарности и отсутствия последействия называется простейшим (пуассоновским) потоком.

Свойство стационарности означает, что вероятность появления m событий на участке времени длины  зависит только от его длины (но не зависит от начала его отсчета). Следовательно, среднее число событий, появляющихся в единицу времени, так называемая интенсивность  потока, есть величина постоянная: (t) = .

Итак, если поток обладает свойством стационарности, то вероятность появления k событий за промежуток времени длительности t есть функция, зависящая только от k и t.

Свойство ординарности означает, что событие появляется не группами, а поодиночке. Другими словами, вероятность появления более одного события за малый участок времени t пренебрежительно мала по сравнению с вероятностью появления только одного события (например, поток катеров, подходящих к причалу, ординарен).

Свойство отсутствия последействия означает, что вероятность появления m событий на любом участке времени длины  не зависит от того, сколько событий появилось на любом другом не пересекающимся с ним участком (говорят: «будущее» потока не зависит от «прошлого», например, поток людей, входящих в супермаркет). рассматриваемого промежутка. Другими словами, условная вероятность появления k событий на любом промежутке времени, вычисленная при любых предположениях о том, что происходило до начала рассматриваемого промежутка (сколько событий появилось, в какой последовательности), равна безусловной вероятности. Таким образом, предыстория потока не сказывается на вероятности появления событий в ближайшем будущем.

Итак, если поток обладает свойством отсутствия последействия, то имеет место взаимная независимость появлений того или иного числа событий в неперсекающиеся промежутки времени.

Можно доказать, что вероятность появления m событий простейшего потока за время продолжительностью t определяется формулой Пуассона

. (4.5)

Пример. Телефонная станция обслуживает 2000 абонентов. Вероятность позвонить любому абоненту в течение часа равна 0,003. Какова вероятность того, что в течение часа позвонят 5 абонентов?

Решение. Среднее число позвонивших в течение часа абонентов равно 20000,003 = 6 (а = np = t). Стало быть, .

Замечание. Часто на практике трудно установить, обладает ли поток перечисленными выше свойствами. Поэтому были найдены и другие условия, при соблюдении которых поток можно считать простейшим или близким к простейшему. В частности, установлено, что если поток представляет собой сумму очень большого числа независимых стационарных потоков, влияние каждого из которых на всю сумму (суммарный поток) ничтожно мало, то суммарный поток (при условии его ординарности) близок к простейшему.