Примеры

• Сфера (получается вращением окружности вокруг оси, лежащей в той же плоскости и проходящей через её центр).

• Тор (получается вращением окружности вокруг не пересекающей её оси, лежащей в той же плоскости).

• Эллипсоид вращения ― эллипсоид, длины двух полуосей которого совпадают. Может быть получен вращением эллипса вокруг одной из его осей.

• Параболоид вращения ― эллиптический параболоид, полученный вращением параболы вокруг своей оси.

• Конус получается вращением прямой вокруг другой прямой, пересекающей первую.

• Круговая цилиндрическая поверхность

• Катеноид

41. Канонические уравнения поверхностей второго порядка

42. Линейное пространство. Подпространства.

Векторное (линейное) пространство — это математическая структура, которая формируется набором элементов, называемых векторами, для которых определены операции сложения друг с другом и умножения на число — скаляр^[1]. Введённые операции подчинены восьми аксиомам.^[⇨] Скаляром же может являться элемент вещественного, комплексного или любого другого поля чисел. Частным случаем векторов подобного пространства являются обычные евклидовы вектора, которые используются, к примеру, для демонстрации физических сил. При этом следует отметить, что вектор как элемент векторного пространства не обязательно должен быть представлен в качестве направленного отрезка. Обобщение понятия «вектор» до элемента векторного пространства любой природы не только не вызывает смешения терминов, но и позволяет уяснить или даже предвидеть ряд результатов, справедливых для пространств произвольной природы. Алгебраическое определение: Линейное подпространство или векторное подпространство ― непустое подмножество линейного пространстватакое, чтосамо является линейным пространством по отношению к определенным вдействиям сложения и умножения на скаляр. Множество всех подпространств обычно обозначают как. Чтобы подмножество было подпространством, необходимо и достаточно, чтобы

1. для всякого вектора , вектортакже принадлежал, при любом;

2. для всяких векторов , вектортакже принадлежал.

Последние два утверждения эквивалентны следующему:

для всяких векторов , вектортакже принадлежалдля любых.

В частности, пространство, состоящее из одного элемента , является подпространством любого пространства; любое пространство является само себе подпространством. Подпространства, не совпадающие с этими двумя, называютсобственными или нетривиальными.

43. Линейная зависимость и независимость векторов линейного пространства

Если линейная комбинация может представлять собой нулевой вектор тогда, когда среди чиселесть хотя бы одно, отличное от нуля, то система векторовназываетсялинейно зависимой.

Если линейная комбинация представляет собой нулевой вектор только тогда, когда все числаравны нулю, то система векторовназываетсялинейно независимой.

Если к линейно зависимой системе векторов добавить несколько векторов, то полученная система будет линейно зависимой.

Если из линейно независимой системы векторов исключить несколько векторов, то полученная система будет линейно независимой.

Если в системе векторов есть хотя бы один нулевой вектор, то такая система линейно зависимая.

Если система векторов линейно зависима, то хотя бы один из ее векторов линейно выражается через остальные. Если система векторовлинейно независима, то ни один из векторов не выражается через остальные.

44. Размерность и базис линейного пространства

Линейное пространство называетсяn-мерным, если в нем существует система из линейно независимых векторов, а любая система из большего количества векторов линейно зависима. Числоназываетсяразмерностью (числом измерений) линейного пространства и обозначается. Другими словами, размерность пространства — это максимальное число линейно независимых векторов этого пространства. Если такое число существует, то пространство называется конечномерным. Если же для любого натурального числа п в пространственайдется система, состоящая излинейно независимых векторов, то такое пространство называют бесконечномерным (записывают:). Далее, если не оговорено противное, будут рассматриваться конечномерные пространства.

Базисом n-мерного линейного пространства называется упорядоченная совокупность линейно независимых векторов (базисных векторов).

45. Изоморфизм линейных пространств

Говорят, что между элементами двух множеств иустановленовзаимно однозначное соответствие, если указано правило, которое каждому элементу сопоставляет один и только один элемент, при чем каждый элементоказывается сопоставленным одному и только одному элементу. Взаимно однозначное соответствие будем обозначать, а соответствующие элементы:.

Два линейных пространства иназываютсяизоморфными, если между их элементами можно установить такое взаимно однозначное соответствие, что выполняются условия:

1) сумме векторов пространства соответствует сумма соответствующих векторов пространства

2) произведению числа на вектор пространства соответствует про изведение того же числа на соответствующий вектор пространства

Другими словами, изоморфизм — это взаимно однозначное соответствие, сохраняющее линейные операции.

46. Преобразование координат вектора при изменении базиса

Пусть вектор X принадлежит векторному пространству L, выберем в этом пространстве какой-нибудь базис {e}. Согласно определению базиса, вектор X можно представить в виде линейной комбинации векторов базиса, и коэффициенты этого представления,

X=∑m=1nλmem,(50)

числа λm,m=1,2,...,n - координаты вектора X в базисе {e}. Если в векторном пространстве ввести новый базис {f}, то вектор X можно представить и иным способом,

X=∑k=1nξkfk,(51)

числа ξk,k=1,2,...,n - координаты вектора X в новом базисе. Возникает естественный вопрос: как связаны между собой координаты вектора в старом и новом базисе?

Пусть A -матрица перехода от базиса {f} к базису {e},

em=∑k=1nakmfk,m=1,2,...,n.(52)

Подставляя (52) в (50), получаем:

X=X=∑m=1nλm(∑k=1nakmfk)=∑k=1n(∑m=1nakmλm)fk.(53)

Координаты вектора в базисе определяются однозначно, так что сравнивая (51) и (53), получаем:

ξk=∑m=1nakmλm,k=1,2,...,n.(54)

Если все координаты вектора X собрать в n−столбец, Ξ=(ξ1,ξ2,...,ξn)T, Λ=(λ1,λ2,...,λn)T, то (54) в матричных обозначениях принимает вид:

Ξ=ATΛ.

Если матрица C описывает переход от базиса {e} к базису {f}, то мы имеем A=C−1, так что в итоге получаем:

Ξ=(CT)−1Λ.

Это и есть искомое соотношение, выражающее связь координат одного вектора в разных базисах.

47. Евклидово пространство. Неравенство Коши-Буняковского треугольника.

Евкли́дово простра́нство (также Эвкли́дово простра́нство) — в изначальном смысле, пространство, свойства которого описываются аксиомами евклидовой геометрии. В этом случае предполагается, что пространство имеет размерность равную 3.

В современном понимании, в более общем смысле, может обозначать один из сходных и тесно связанных объектов: конечномерное вещественное векторное пространство с введённым на нём положительно определённымскалярным произведением, либо метрическое пространство, соответствующее такому векторному пространству. В этой статье за исходное будет взято первое определение.

-мерное евклидово пространство обозначается также часто используется обозначение