Каноническое уравнение

Для любого эллипса можно найти декартову систему координат такую, что эллипс будет описываться уравнением (каноническое уравнение эллипса):

Оно описывает эллипс с центром в начале координат, оси которого совпадают с осями координат.

Эксцентрисите́т — числовая характеристика конического сечения, показывающая степень его отклонения от окружности. Обычно обозначается “” или “”.

 Расстояния иот каждого из фокусов до данной точки на эллипсе называютсяфокальными радиусами в этой точке.

 Расстояние называетсяфокальным расстоянием.

 Величина называетсяэксцентриситетом.

31. Параметрическое уравнение эллипса

Уравнения в параметрической форме

Геометрическая иллюстрация параметризации эллипса (анимация).

Каноническое уравнение эллипса может быть параметризовано:

где — параметр уравнения.

В случае окружности параметр является углом междурадиус-вектором данной точки и положительным направлением оси абсцисс.

32. Гипе́рбола— геометрическое место точек M Евклидовой плоскости, для которых абсолютное значение разности расстояний от M до двух выделенных точек и(называемыхфокусами) постоянно. Точнее,

Наряду с эллипсом и параболой, гипербола является коническим сечением и квадрикой. Гипербола может быть определена как коническое сечение с эксцентриситетом, большим единицы.

Канонический вид

Перемещением центра гиперболы в начало координат и вращением её относительно центра, уравнение гиперболы можно привести к каноническому виду:

,

где a — действительная (большая) полуось гиперболы; b — мнимая полуось гиперболы

Если точка M принадлежит гиперболе, то расстояни F1M |и |F2M называется фокальными радиусами. Величина e=c/a называется эксцентриситетом гиперболы.

33. Уравнения в параметрической форме

Подобно тому, как эллипс может быть представлен уравнениями в параметрической форме, в которые входят тригонометрические функции, гипербола в прямоугольной системе координат, центр которой совпадает с её центром, а ось абсцисс проходит через фокусы, может быть представлена уравнениями в параметрической форме, в которые входят гиперболические функции^[2].

В первом уравнении знак «+» соответствует правой ветви гиперболы, а «-» — её левой ветви.

34. Парабола. Каноническое уравнение.

Пара́бола — геометрическое место точек, равноудалённых от данной прямой (называемой директрисой параболы) и данной точки (называемой фокусом параболы).

Наряду с эллипсом и гиперболой, парабола является коническим сечением. Она может быть определена как коническое сечение с единичным эксцентриситетом

Каноническое уравнение параболы в прямоугольной системе координат:

(или , если поменять местами оси).

Число p называется фокальным параметром, оно равно расстоянию от фокуса до директрисы^[1]. Поскольку каждая точка параболы равноудалена от фокуса и директрисы, то и вершина — тоже, поэтому она лежит между фокусом и директрисой на расстоянии от обоих.

35. Директриса эллипса и гиперболы.

Прямые, перпендикулярные большой оси эллипса и расположенные на расстоянии от его центра, называютсядиректрисами эллипса. Если задан эллипс своим каноническим уравнением с фокусами на оси(т.е.), то его директрисами будут прямыеи. Поскольку для эллипсатоЗначит, директрисы не пересекают эллипс (рис. 17.1).

Аналогично определяется директриса гиперболы.

Def. Прямые, перпендикулярные действительной оси гиперболы и расположенные на расстоянии от его центра, называютсядиректрисами гиперболы.

Для гиперболы значит,Следовательно, директрисы не пересекают гиперболу.

36. Полярное уравнение кривой второго порядка

Кривая второго порядка — геометрическое место точек плоскости, прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида

Если взять в качестве полюса полярной системы координат фокус невырожденной кривой второго порядка, а в качестве полярной оси — её ось симметрии, то в полярных координатах ,уравнение кривой будет иметь вид

37. Преобразование ДПСК

Теорема Шаля.

Если даны 3 вектора то для направленных углов между ними справедливо соотношение

   Параллельный перенос начала координат.

Поворот системы координат на угол

38. Упрощение общего уравнения второй степени

Общее уравнение линии второго порядка имеет вид

Ax² + 2Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0.

Задача упрощения этого уравнения состоит в том, чтобы в преобразованном уравнении были устранены: 1) член, содержащий произведение текущих координат, и 2) члены, содержащие первые степени двух координат или, по крайней мере, одной из них.

В том случае, когда уравнение линии второго порядка содержит произведение текущих координат, упрощение его следует начинать с поворота осей без изменения начала координат и надлежащим выбором угла поворота добиться того, чтобы из преобразованного уравнения был устранен член, содержащий произведение текущих координат. Преобразование координат в этом случае будем вести по формулам

Если после устранения из преобразованного уравнения члена с произведением текущих координат в нем останутся члены с первыми степенями текущих координат, то последующим параллельным переносом осей можно, как это было показано, привести уравнение к каноническому виду.

Координатную систему, полученную в результате поворота первоначальной системы координат, будем обозначать через x₁Oy₁, а систему координат, полученную от параллельного переноса координатной системы x₁Oy₁, - через x₂O₁y₂

39. Цилиндрические поверхности

Цилиндрическая поверхность — поверхность второго порядка, образуемая движением прямой (в каждом своём положении называемой образующей) вдоль кривой (называемой направляющей) так, что прямая постоянно остаётся параллельной своему начальному положению. В декартовых координатах может быть выражена уравнениями: ;;, и некоторыми другими.

Частный случай цилиндрической поверхности: поверхность прямого кругового цилиндра с осью OZ. Выражается уравнением:

где R — радиус направляющей окружности.

40. Поверхности вращения

Поверхность вращения — поверхность, образуемая при вращении вокруг прямой (оси поверхности) произвольной линии (прямой, плоской или пространственной кривой). Например, если прямая пересекает ось вращения, то при её вращении получится коническая поверхность, если параллельна оси — цилиндрическая, если скрещивается с осью — однополостный гиперболоид вращения. Одна и та же поверхность может быть получена вращением самых разнообразных кривых.

Является объектом изучения в математическом анализе, аналитической и начертательной геометрии