Симметричные и антисимметричные матрицы

: Квадратная матрица A называется симметричной, если A^T=A В частности, симметричной является любая диагональная матрица. Если забыли, что такое диагональная матрица, гляньте на рис. 2 . Попробуйте эту матрицу с рисунка 2 мысленно транспонировать. Диагональные элементы при этом, оказывается, остаются на месте. А теперь посмотрите на симметричную матрицу на рисунке 9. Вы видите симметрию? Попробуйте и эту матрицу мысленно транспонировать. Определение: Квадратная матрица A называется антисимметричной , если A^T = -A . Теперь посмотрите на антисимметричную матрицу. Чем она отличается от симметричной? Обратите внимание, что все её диагональные элементы равны нулю. У антисимметричных матриц все диагональные элементы равны нулю. Подумайте, почему? Отметим некоторые свойства операций над симметричными и антисимметричными матрицами. 1. Если A и B — симметричные (антисимметричные) матрицы, то и A + B — симметричная (антисимметричная) матрица. 2.Если A — симметричная (антисимметричная) матрица, то xA также является симметричной (антисимметричной) матрицей. (в самом деле, если умножить матрицы из рисунка 9 на какое - нибудь число, симметрия то всё равно сохранится) 3. Произведение AB двух симметричных или двух антисимметричных матриц A и B есть матрица симметричная при AB = BA и антисимметричная при AB = -BA. 4. Если A — симметричная матрица, то и A^m (m = 1, 2, 3, . . .) — симметричная матрица. Если A — антисимметричная матрица, то A^m (m = 1, 2, 3, . . .) яв ляется симметричной матрицей при четном m и антисимметричной — при нечетном. 5. Произвольную квадратную матрицу A можно представить в виде суммы двух матриц. (назовём эти матрицы, например A^(s) и A^(a) ) A=A^(s)+A^(a) A^(s)=(A+A^T)/2 A^(a))=(A-A^T)/2

8. Обратная матрица. Матричный метод решения СЛАУ.

Обра́тная ма́трица — такая матрица A⁻¹, при умножении на которую исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:

Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная, то есть её определитель не равен нулю. Для неквадратных матриц и вырожденных матриц обратных матриц не существует. Однако возможно обобщить это понятие и ввести псевдообратные матрицы, похожие на обратные по многим свойствам.

Ма́тричный метод решения (метод решения через обратную матрицу) систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем состоит в следующем.

Пусть дана система линейных уравнений с неизвестными (над произвольным полем):

Тогда её можно переписать в матричной форме:

, где — основная матрица системы,и— столбцы свободных членов и решений системы соответственно:

Умножим это матричное уравнение слева на — матрицу, обратную к матрице:

Так как , получаем. Правая часть этого уравнения даст столбец решений исходной системы. Условием применимости данного метода (как и вообще существования решения неоднородной системы линейных уравнений с числом уравнений, равным числу неизвестных) являетсяневырожденность матрицы A. Необходимым и достаточным условием этого является неравенство нулю определителя матрицы A:

.

Для однородной системы линейных уравнений, то есть когда вектор , действительно обратное правило: системаимеет нетривиальное (то есть ненулевое) решение только если. Такая связь между решениями однородных и неоднородных систем линейных уравнений носит названиеальтернативы Фредгольма.

решение системы линейных алгебраических уравнений матричным методом определяется по формуле . Другими словами, решение СЛАУ находится с помощью обратной матрицы.

Мы знаем, что квадратная матрица А порядка n на n имеет обратную матрицу только тогда, когда ее определитель не равен нулю. Следовательно, СИСТЕМУn ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С n НЕИЗВЕСТНЫМИ МОЖНО РЕШАТЬ МАТРИЧНЫМ МЕТОДОМ ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ОСНОВНОЙ МАТРИЦЫ СИСТЕМЫ ОТЛИЧЕН ОТ НУЛЯ

С помощью обратной матрицы найдите решение системы линейных уравнений .

Решение.В матричной форме исходная система запишется как , где. Вычислим определитель основной матрицы и убедимся, что он отличен от нуля. В противном случае мы не сможем решить систему матричным методом. Имеем, следовательно, для матрицыА может быть найдена обратная матрица . Таким образом, если мы отыщем обратную матрицу, то искомое решение СЛАУ определим как. Итак, задача свелась к построению обратной матрицы. Найдем ее.

Мы знаем, что для матрицы обратная матрица может быть найдена как, где- алгебраические дополнения элементов.

В нашем случае

Тогда Выполним проверку полученного решения, подставив его в матричную форму исходной системы уравнений. Это равенство должно обратиться в тождество, в противном случае где-то была допущена ошибка.

Следовательно, решение найдено верно.

Ответ:

или в другой записи .

9. Ранг матрицы. Элементарные операции с матрицей.