Операции над матрицами и их свойства

Произведением матрицы на число x является матрица того же размера. Чтобы получить это произведение, нужно каждый элемент умножить на это число (рис 4). Чтобы получить сумму двух матриц одинакового размера, нужно сложить их соответствующие элементы (рис. 4). Чтобы получить разность A - B двух матриц одинакового размера, нужно умножить матрицу B на -1 и сложить получившуюся матрицу с матрицей А (рис. 4). Для операций над матрицами справедливы свойства: А+В=В+А (свойство коммутативности). (A + B)+C = A+(B + C) (свойство ассоциативности). По простому говоря, от перемены мест слагаемых сумма не меняется. Для операций над матрицами и числами справедливы свойства: (обозначим числа буквами x и y, а матрицы буквами A и B) x(yA)=(xy)A x(A+B)=xA+xB (x+y)A=xA+yA Эти свойства аналогичны свойствам, действующим при операциях над числами.

Умножение двух матриц определено лишь тогда (в переводе на русский: матрицы можно умножать лишь тогда), когда число столбцов первой матрицы в произведении равно числу строк второй (рис. 7 , позиция 1, синие скобки). Тогда произведение матриц вычисляется так: Дано: AB = C . Вычисляем матрицу C. Сначала вычисляем элемент на первой строке, первом столбце матрицы С (рис. 7 позиция 2). Смотрим первую строку матрицы A и первый столбец матрицы B. умножаем элементы одинакового цвета друг на друга и получившиеся произведения складываем. Вычисляем элемент на первой строке, втором столбце матрицы С (рис. 7, позиция 3) так же, как и предыдущий. Вычисляем элемент на второй строке, первом столбце матрицы С (рис. 7, позиция 4). Ну, и так далее. Результат на позиции 5. Число строк матрицы–произведения совпадает с числом строк первой, а число столбцов — с числом столбцов второй из перемножаемых матриц (рис. 6). Имеют место следующие свойства: 1. Если сумма B + C и произведение AB существуют, то A (B + C ) = AB + AC 2. Если произведение AB существует, то x (AB) = (xA) B = = A (xB). 3. Если произведения AB и BC существуют, то A (BC) = (AB) C . Если произведение матриц AB существует, то произведение BA может не существовать. Если даже произведения AB и BA существуют, то они могут оказаться матрицами разных размеров. Оба произведения AB и BA существуют и являются матрицами одинакового размера лишь в случае квадратных матриц A и B одного и того же порядка. Однако, даже в этом случае AB может не равняться BA.

Возведение в степень

Возведение матрицы в степень имеет смысл лишь для квадратных матриц (подумайте, почему?). Тогда целой положительной степенью m матрицы A является произведение m матриц, равных A. Так же, как и у чисел. Под нулевой степенью квадратной матрицы A понимается единичная матрица того же порядка что и A. Если позабыли, что такое единичная матрица, гляньте на рис. 3. Так же, как и у чисел, имеют место следующие соотношения: A^mA^k=A^m+k (A^m)k=A^mk Смотрите примеры у Белоусова на стр. 20.

Транспонирование матриц

: Переход от матрицы A к матрице A^T , в которой строки и столб цы поменялись местами с сохранением порядка, называется транспонированием матрицы (рис. 8). Обратите внимание, как при транспонировании меняется размер матрицы, то есть количество строк и столбцов. Имеют место следующие свойства: (A^T)^T=A (транспонируй матрицу два раза - получишь такую же матрицу) (xA)^T=xA^T (под x имеется в виду число, под A, разумеется, матрица) (если надо матрицу умножить на число и транспонировать, можешь сначала умножить, затем транспонировать, а можешь наоборот) (A+B)^T = A^T+B^T (AB)^T=B^TA^T