Свойства

• Ортогональные преобразования (и только они) переводят один ортонормированный базис евклидова пространства в другой ортонормированный.

• Необходимым и достаточным условием ортогональности линейного преобразования является равенство

где —сопряжённое, а — обратное преобразования.

• В ортонормированном базисе ортогональным преобразованиям (и только им) соответствуют ортогональные матрицы. Таким образом, критерием ортогональности матрицы является равенство (*), где— транспонированная, а— обратная матрицы.

• Собственные значения ортогональных преобразований равны или, асобственные векторы (вообще говоря, комплексные), отвечающие различным собственным значениям, ортогональны.

• Определитель ортогонального преобразования равен (собственное ортогональное преобразование) или (несобственное ортогональное преобразование).

• В произвольном -мерном евклидовом пространстве ортогональное преобразование является композицией конечного числаотражений.

• Множество всех ортогональных преобразований евклидова пространства образует группу относительно операции композиции — ортогональную группу данного евклидова пространства. Собственные ортогональные преобразования образуют нормальную подгруппу в этой группе (специальную ортогональную группу).

58. Квадратичные формы. Преобразование квадратичной формы при линейном преобразовании переменных.

Квадратичная форма — функция на векторном пространстве, задаваемая однородным многочленом второй степени от координат вектора.

Линейное преобразование (1) переменных называется неособенным, если его матрица С неособенная (det C .

Если линейное преобразование с матрицей С неособенное, то существует обратная матрица С^-1 и преобразование У=С^-1∙Х называется обратным преобразованием переменных.

Определение 3. Собственные значения и собственные векторы матрицы линейного преобразования называются собственными значениями и собственными векторами линейного преобразования.

Если в квадратичной форме с матрицей А сделано неособенное линейное преобразование переменных Х = С∙ У, то новая квадратичная форма имеет матрицу В = С^Т∙А∙С.

59. Приведение действительной квадратичной формы к нормальному виду.

Квадратичная формаНазывается канонической, если она не

Содержит произведений различных переменных, т. е.

(И-8)

Каноническая квадратная форма называется нормальной (или имеет нормальный ввд), еслиТ. е. отличные от нуля коэффициенты при

Квадратах переменных равныИлиНапример, квадратичная форма

Для которой

Имеет канонический вид; квадратная формаЯвля

Ется нормальной, так как

Теорема 11.2. Любая квадратичная форма некоторым невырожденным линейным преобразованием может быть приведена к каноническому виду

Где- новые переменные.

некоторые из коэффициентовМогут оказаться равными нулю; число отличных от нуля коэффициентов в этой формуле равно рангуМатрицы квадратичной формы

Теорема 11.3. Любую действительную квадратичную форму линейным невырожденным преобразованием можно привести к нормальному виду

V(г„22,..., гл) = г* +х\  -г\-----г2.

Число входящих сюда квадратов равно рангу формы.