Свойства

Симметричная матрица всегда квадратная.

Для любой симметричной матрицы A с вещественными элементами справедливо следующее:

• она имеет вещественные собственные значения

• её собственные векторы, соответствующие разным собственным значениям, ортогональны друг другу:

• из её собственных векторов всегда можно составить ортонормальный базис

• матрицу A можно привести к диагональному виду: , где—ортогональная матрица, столбцы которой содержат базис из собственных векторов, а D — диагональная матрица с собственными значениями матрицы A на диагонали.

• Если у симметричной матрицы A единственное собственное значение , то она имеет диагональный вид:, где—единичная матрица, в любом базисе.

53. Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду

Матрица линейногопреобразования имеет диагональный вид

Тогда и только тогда, когда каждый базисный вектор является собственным вектором этого преобразования.

Матрица.Называется приводимой к диагональному виду, если существует невырожденная матрицаТакая, что матрицаЯвляется диагональной. Следовательно, если матрицаПриводима к диагональному виду, то

Где- характеристические числа матрицы

Т е ор е м а 10.7. МатрицаЛинейногопреобразования-мерного линейного пространства приводима к диагональному виду тогда и только тогда, когда существует базис этого пространства, состоящий из собственных векторов данного преобразования.

Если все собственные числа матрицыПопарно различны, то матрица приводится к диагональному виду.

54. Действия над линейными операторами

Во множестве всех операторов, действующих из L1 в L2 можно определить операции суммы таких операторов и умножения на скаляр:

А) суммой двух операторов иназовем оператор (+), для которого (+) х =Х +Х;

Б) произведением оператора на скаляр l назовем оператор l, для которого (l) х = l(х);

В) нулевым оператором 0 назовем оператор, который действует по правилу 0×х = 0 для любого Х;

Г) для каждого оператора определим противоположный оператор -посредством соотношения -= (-1) ×.

55. Невырожденные линейные преобразования

Линейное преобразование называется невырожденным, если его матрица является невырожденной; в противном случае линейное преобразование называется вырожденным.

Теорема 10.10. Линейное преобразование является невырожденным тогда и только тогда, когда оно взаимно однозначно.

Следствие. Линейное невырожденное преобразование ненулевой вектор переводит в ненулевой; обратно также верно: если линейное преобразование ненулевой вектор переводит в ненулевой, то оно будет невырожденным.

56. Ортогональные матрицы

Ортогональная матрица — квадратная матрица A с вещественными элементами, результат умножения которой на A^T равен единичной матрице:^[1]

или, что эквивалентно, её обратная матрица равна транспонированной матрице:

57. Ортогональные преобразования

Ортогональное преобразование — линейное преобразование евклидова пространства , сохраняющеедлины или (что эквивалентно) скалярное произведение векторов. Это означает, что для любых двух векторов выполняется равенство

где треугольными скобками обозначено скалярное произведение в пространстве.