Начертательная испр 2 _(Autosaved_)

31

Расчетно-графическое задание 03

Поверхности. Взаимное пересечение поверхностей. Развертки.

Цель — закрепить знания по указанной теме.

Содержание задания

Задача 03.01. Построить горизонтальную и фронтальную проекции заданных поверхностей и определить линию их пересечения.

Задача 03.02. Построить развертку одной из поверхностей.

Для успешного выполнения задания необходимо владеть теорией по указанной теме, а именно, знать:

∙определение поверхности вращения;

∙общее правило (алгоритм) решения задачи по определению точек, принадлежащих линии пересечения поверхностей;

∙на каком принципе основан выбор поверхностей — посредников; определение, свойства и способы построения развертки поверхностей.

Задачи на построение линии пересечения поверхностей α и β относятся к позиционным. Это задачи на определение общих элементов заданных фигур. Линия их пересечения состоит из точек, принадлежащих обеим поверхностям. Общим приемом нахождения этих точек является введение вспомогательных поверхностей — посредников, согласно следующему правилу (алгоритму) (рис. 12):

1.ввести вспомогательную поверхность λ;

2.построить линии пересечения вспомогательной поверхности λ с заданными α и β (λ ∩ α = а, λ ∩ β = b).

3.отметить точку пересечения построенных линий (K = a ∩ b).

4.повторив эту операцию неоднократно и получив достаточное количество точек, провести через них искомую линию пересечения l (с

учетом видимости) α ∩ β = l K, L, M,… .

32

Рис. 12

В качестве вспомогательных поверхностей применяют такие, линии пересечения которых с заданными поверхностями проецируются графически простыми — прямой или окружностью. Можно, например, использовать плоскости или сферы. Если одна из исходных поверхностей линейчатая (образующая — прямая линия), то задача может быть сведена к построению точек пересечения образующих этой поверхности со второй поверхностью. Применяют способы преобразования чертежа, если это упрощает, и уточняет решение. Построение точек пересечения рекомендуется выполнять в определенной последовательности: границы видимости, экстремальные и опорные точки, промежуточные (случайные) точки.

Границы видимости — это точки, отделяющие видимую часть линии пересечения от невидимой. Они всегда принадлежат очерковым линиям поверхности.

К экстремальным точкам относятся самая верхняя и самая нижняя точки линии пересечения, самая левая и самая правая, самая ближняя и самая дальняя.

Опорные точки принадлежат границам составных частей поверхно-

сти.

Методические рекомендации к выполнению задачи 03.01.

Цель — закрепить знания по указанной теме.

33

Для успешного выполнения задания необходимо свободно владеть пройденным материалом:

∙уметь выделять на поверхности семейства линий (по возможности простейших: прямых и окружностей);

∙уметь строить проекции точек и линий на поверхности;

∙знать и применять свойства проекций проецирующих фигур;

∙знать общий алгоритм определения точек, принадлежащих линии пересечения поверхностей;

∙знать условия, при которых линия пересечения поверхностей второго порядка распадается на две плоские кривые.

В каждом варианте задания предлагается решить две задачи на построение линии пересечения поверхностей.

Две поверхности пересекаются в общем случае по пространственной линии, точки которой принадлежат каждой из заданных поверхностей. Для построения линии пересечения находят ряд точек, общих для обеих поверхностей, и соединяют их линией с учетом ее видимости. Общим приемом нахождения точек, принадлежащих линии пересечения двух поверхностей, является введение вспомогательных поверхностей, в качестве которых рекомендуется чаще всего использовать плоскости и сферы.

Семейство сфер с постоянным центром и переменным радиусом (способ концентрических сфер) применяют при построении линии пересечения поверхностей вращения с пересекающимися осями. Общий центр таких сфер находится в точке пересечения осей данных поверхностей.

В случае, если оси поверхностей скрещиваются, но одна из поверхностей обязательно является поверхностью вращения, а другая имеет с первой общую плоскость симметрии, параллельную одной из плоскостей проекций, в качестве вспомогательных вводят сферы с переменным центром (способ эксцентрических сфер). Для определения центров вспомогательных сфер на одной из поверхностей задают круговое сечение и отмечают точку пересечения его с осью второй поверхности. Эта точка и будет центром вспомогательной сферы. Круговое сечение может быть принято за параллель вспомогательной сферы. Радиус вспомогательной сферы равен расстоянию от центра ее до крайних точек кругового сечения. Вторую заданную поверхность вспомогательная сфера пересечет также по окружности, так как центр вспомогательной сферы оказывается на оси второй поверхности.

Если хотя бы одна из пересекающихся поверхностей, занимает проецирующее положение, то решение задачи упрощается, так как сразу из-

34

вестна одна из проекций линии пересечения — она совпадает со следом проецирующей поверхности. Вторую проекцию искомой линии определяют из условия ее принадлежности другой, непроецирующей поверхности.

Построение проекций линии пересечения упрощаются и в некоторых частных случаях, которые описываются рядом теорем (например, теоремой Монжа).

Рассмотрим примеры решения некоторых задач.

Пример 1 Построить линию пересечения поверхности сферы с наклонной цилиндрической поверхностью. (рис. 13).

Анализ.

На чертеже задана сферическая поверхность и поверхность эллиптического цилиндра с круговым основанием и осью i π2.

Поверхности не имеют общей плоскости симметрии (это означает, что главные меридианы не пересекаются), но имеют простейшие линии, которыми являются: на цилиндре — прямолинейные образующие, на сфере — окружности, плоскости которых параллельны π2. Попарное сочетание образующих цилиндра и окружностей на сфере определяют вспомогательные плоскости, параллельные π2.

Вспомогательные плоскости в данном примере могут быть параллельны и плоскости π1, (например α) потому что такие плоскости пересекают сферу по параллелям, а цилиндрическую — по окружностям, плоскости которых параллельны основанию цилиндрической поверхности, а центры принадлежат ее оси.

Последовательность решения на чертеже

Построение начинают с определения опорных точек.

Самые ближние точки А и В найдены при помощи вспомогательной плоскости γ (горизонтальный след γ1), которая проведена через самую ближнюю образующую цилиндра 11′ (γ1 ≡ 1111′) и пересекает сферу по окружности радиусом r1. Фронтальная проекция этой окружности пересекает фронтальную проекцию образующей 1212′ цилиндрической поверхности в точках А2 и В2. Чтобы определить А1 и В1, проводят линии связи из А2 и В2 до пересечения со следом γ1.

Аналогично находят точки C и D при помощи секущей плоскости γ′ (горизонтальный след γ1′), которую проводят через самую дальнюю образующую цилиндрической поверхности 22′ (γ1′ ≡ 2121′).

Фронтальная проекция образующей 2222′ пересекает окружность, получившуюся в сечении сферы (радиус r2) в точках C2 и D2. Горизонталь-

35

ные проекции C1 и D1 принадлежат g1¢ и определяют с помощью линий связи, проведенных через C2 и D2. C1 и A1 являются границами видимости линии пересечения на π1.

Точки E, F, K, L, являющиеся границами видимости на p2, определяют при помощи плоскости g² (горизонтальный след g1²), которую проводят через главный меридиан цилиндрической поверхности — 33¢ и 44¢, (γ1² º 3131¢ = 4141¢), фронтальные проекции которых являются очерковыми.

Пересечение очерковых образующих цилиндрической поверхности на π2 с окружностью сферы (радиус r3) дает E2, F2, K2, L2, проведя линии связи от которых до γ1², отмечают E1, F1, K1, L1.

Характерными точками линии пересечения заданных поверхностей являются точки P, Q, R, S, принадлежащие главному меридиану сферы, которые определены при помощи вспомогательной секущей плоскости γ²¢ (горизонтальный след γ1²¢), проходящей через главный меридиан сферы, и точки M и N, принадлежащие экватору сферы, которые определены при помощи плоскости α π1 (фронтальный след α2 X).

Горизонтальные проекции M1 и N1 получают в пересечении экватора сферы с окружностью, которая получается в сечении цилиндра плоскостью α (центр O, радиус ).

Для получения плавной линии найдено несколько промежуточных точек также при помощи фронтальных секущих плоскостей.

Полученные одноименные проекции точек соединены плавной линией. Причем, линия пересечения распалась на две части: верхнюю и нижнюю. На видимых участках линии пересечения при проецировании на π2 находятся точки E2, B2, L2 и F2, A2, K2.

При проецировании на π1 нижняя часть линии пересечения видима на участке M1T1N1 , а верхняя — на участке C1F1A1.

36

Рис. 13

Пример 2 Определить линию пересечения цилиндрической и конической поверхностей. (рис. 14).

Анализ.

В рассматриваемой задаче цилиндрическая поверхность является горизонтально проецирующей. Поэтому горизонтальная проекция линии пересечения известна. Она совпадает с окружностью, являющейся горизон-

37

тальной проекцией (следом) цилиндрической поверхности. Задача сводится к построению недостающей фронтальной проекции линии пересечения, как линии, принадлежащей к второй поверхности, т. е. поверхности конуса.

Последовательность построения на чертеже.

1. Определяют горизонтальные проекции самой высокой (А1) и самой низкой (В1) точек. Для этого проводят плоскость Σ (Σ1 — горизонтальный след) через оси вращения поверхностей (s1 и i1) и отмечают точки пересечения следа этой плоскости Σ1 со следом цилиндрической поверхности.

2.Отмечают горизонтальные проекции точек, принадлежащих главному меридиану цилиндра (C1 и D1) и главному меридиану конической поверхности (K1 и L1). Так как главный меридиан цилиндрической поверхности расположен впереди главного меридиана конической поверхности, то фронтальные проекции точек C и D (C2 и D2) являются границами видимости линии пересечения при проецировании

на π2.

3.Отмечают горизонтальные проекции самой ближней (E1) и самой дальней (F1) точек линии пересечения.

4.Отмечают горизонтальные проекции точек (M1 и N1), принадлежащих меридиану конической поверхности, параллельному профильной плоскости проекций.

5.Определяют фронтальные проекции отмеченных точек. A2, B2, C2, D2, K2, L2, E2, F2 построены с использованием образующих конической поверхности. Так, через точку А1 проходит горизонтальная проекция образующей S111. Проведя линию связи из 11 до фронтальной проекции окружности основания, отмечают 12. 12S2 — фронтальная проекция образующей, которой принадлежит А2. А2 отмечают на 12S2, проведя линию связи из А1. Аналогично найдены B2, C2, F2. M2 и N2 найдены с использованием круговых сечений конической поверхности, горизонтальные проекции которых проведены из центра S1 радиусами S1M1 и S1N1 до пересечения с главным меридианом конической поверхности в точках 91 и 101. Отметив на очерковых образующих фронтальные проекции 92 и 102, параллельно основанию конуса проводят фронтальные проекции этих круговых сечений, которые в пересечении с профильным меридианом

дают точки M2 и N2 .

38

Рис. 14

6.Находят достаточное количество промежуточных (случайных) точек, используя для этого либо образующие, либо круговое сечение конической поверхности.

7.Полученные проекции точек соединяют плавной кривой линией с учетом видимости. Видимый участок линии пересечения проходит

через точки C2, N2, D2.

39

Пример 3 Построить линию пересечения поверхностей закрытого тора и прямого кругового конуса. (рис. 15).

Анализ.

Заданные поверхности вращения имеют общую плоскость симметрии Φ (горизонтальный след Φ1). Оси поверхностей принадлежат этой плоскости и пересекаются между собой в точке О.

При этих условиях для определения точек линии пересечения можно применить способ концентрических сфер.

Последовательность построений.

1.Отмечают точки пересечения контуров фронтальных проекций поверхностей А2 и В2.

2.Проводят линии связи из А2 и В2 и на главном меридиане поверхностей (след плоскости симметрии Φ1) отмечают А1 и В1.

3.Отмечают точку пересечения фронтальных проекций осей поверхностей О2, и проводят из нее нормаль к поверхности конуса (перпендикуляр О212 к образующей) и нормаль к поверхности тора

(О222).

4.Нормаль О232 принимают за радиус минимальной вспомогательной сферы (Rmin), так как О232 > О212 и проводят очерк минимальной сферы радиусом Rmin.

5.Соединив точки пересечения очерка минимальной сферы с очерковыми образующими конуса и точки касания очерка минимальной сферы с очерком тора, получают проекции окружностей, по которым вспомогательная сфера пересекла поверхность конуса и коснулась поверхности тора.

6.Отмечают точку пересечения (С2) этих отрезков, которая одновременно принадлежит и конусу и тору, т. е. их линии пересечения.

7.Проводят горизонтальную проекцию окружности касания (радиусом

R1) и на ней отмечают точки С1 и С1′, опустив линии связи из С2 и

С2′.

8.Определяют фронтальные проекции промежуточных (случайных) точек линии пересечения (D2, D2′, E2, E2′, K2, K2′), используя вспомогательные сферы, радиусы которых должны быть больше, чем Rmin и меньше, чем Rmax = O2A2.

40

Рис. 15

9.Строят горизонтальные проекции этих точек, воспользовавшись параллелями, по которым вспомогательные сферы пересекают тор.