6.3. Евклидовы пространства. Неравенство Коши-Буняковского.

Вещественное линейное пространство называется евклидовым, если в нем определена операция скалярного произведения, по которому любым двум векторамставится в соответствие действительное число, обозначаемое (), и эта операция подчиняется следующим аксиомам:

1) ()=(),

2) ,

3) ,

4) еслии, если.

Длиной вектора называется число ||=(модуль вектора). ||>0, еслии ||=0, если.Углом  между векторамииназывается число. Если один из векторов нулевой, то угол не определен.Расстоянием между векторамииевклидова пространства называется неотрицательное число.

Теорема 1:Для любых двух векторов евклидова пространства справедливо неравенство Коши-Буняковского:.

Доказательство:Рассмотрим вектор. Из 4) следует(действительное число).=. Это неравенство второй степени относительносправедливо для любыхи.. (Так как квадратный трехчлен относительнопринимает неотрицательные значения при любомтогда и только тогда, когда).

Следствие:.

Два вектора иевклидова пространства называютсяортогональными, если. Обозначение. Нулевой вектор ортогонален любому вектору пространства.Система векторовназываетсяортогональной, если все векторы этой системы попарно ортогональны между собой.

Базис евклидова пространства называетсяортонормированным, если

и.

Любой вектор в евклидовом пространстве, заданный в ортонормированном базисе, может быть представлен единственным образом. Длина вектораВектор евклидова пространства называетсянормированным, если его длина равна 1, обозначаетсяего координаты равны=.

Пусть даны два вектора ив евклидовом ортонормированном пространстве. Тогда:

1) ,

2) – условие коллинеарности векторов,

3) условие ортогональности векторов,

4)

Пример 1: Система координатXOYповернута относительно начала координат на угол. Обозначим новую систему черезX₁OY₁и выразим координаты векторав новой системе через его координатыв старой системе. Проекция векторана ось ОXравнаcos, на ось ОY–sin.

Пример: 1)

2)