5.2. Методы нахождения ранга матрицы.

1) Метод окаймляющих миноров.

При вычислении ранга матрицы следует переходить от миноров меньших порядков к минорам больших порядков. Если уже найден минор k-го порядкаM_kотличный от нуля, то требуется вычислить лишь миноры (k+1)-го порядка, окаймляющие минорM_k. Если все они равны нулю, то ранг матрицы равенk. Если хотя бы один минор (k+1)-го порядка не равен нулю, то процедура повторяется.

Пример: A=

r(A)=2.

2) Метод элементарных преобразований.

С помощью элементарных преобразований приводим матрицу к трапециевидной форме, если матрица квадратная, то к треугольной. Ранг матрицы будет равен числу ненулевых строк матрицы. При элементарных преобразованиях получаются эквивалентные (равносильные) матрицы.

Пример: А = r(A)=2.

5.3. Теорема Кронекера-Капелли.

Рассмотрим произвольную систему:

(3)

Теорема Кронекера-Капелли: Чтобы система (3) была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг основной матрицы системы был равен рангу расширенной матрицы, т.е.. При этом если(числу неизвестных), то система определенная. Если, то система неопределенная.

5.4.Решение произвольных систем методом Гаусса.

Ранее рассматривались квадратные системы с ∆≠0. Для решения произвольных систем (3) чаще применяется метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных).

При решении системы методом Гаусса выписывается расширенная матрица системы и над строками этой матрицы производят элементарные преобразования, чтобы привести матрицу к квазитреугольному виду. Находят ранги основной и расширенной матриц.

Если они неравны, то система несовместна.

Если они равны, т.е. , то система совместна. Если система определенная, то из полученной матрицы восстанавливают систему и, начиная с последнего уравнения, находят неизвестные.

Если система несовместна, находят какой-либо базисный минор порядка r. Неизвестные, коэффициенты которых входят в базисный минор, называютбазисныминеизвестными (их число равно r), а остальныеn-rнеизвестных называютсвободными. По полученной матрице восстанавливают систему, базисные неизвестные оставляют в левой части уравнений, свободные неизвестные переносят в правую. Выражают базисные неизвестные через свободные. Получают общее решение системы (3).

Придавая свободным неизвестным произвольные значения, получают соответствующие значения базисных неизвестных. Таким образом, находят частные решения системы (3).

Пример: 1)

2)

5.5. Однородные системы.

Если свободные члены в системе (3) равны нулю, то она называется однородной:

(4)

Она всегда совместна, т.к. обладает тривиальным решением .

Рассмотрим условия, при которых система имеет нетривиальные решения.

Теорема 1:Для того чтобы система (4) имела нетривиальные решения, необходимо и достаточно, чтобы ранг ее основной матрицы был меньше числа неизвестных, т.е.r(A)n.

Доказательство: Еслиn=r, то из теоремы Кронекера-Капелли вытекает, что система (4) имеет единственное, а значит только тривиальное решение.

Если rn, то система (4) является неопределенной, (т.к. несовместной она быть не может) и, значит, имеет бесконечное множество ненулевых решений.

Теорема 2:Для того чтобы квадратная однородная система имела нетривиальное решение необходимо и достаточно, чтобы определитель основной матрицы системы (4) был равен нулю.

Доказательство:Если≠0, тоr(A)=n, то система имеет единственное, а значит только тривиальное решение. Это необходимое условие. Оно также является и достаточным, т.к. если=0, тоr(A)nи система имеет бесконечное множество ненулевых решений.

Для решения систем (4) удобно пользоваться методом Гаусса. Так как r(A)n, то система является неопределенной: переносим свободные неизвестные (их число равноn-r) в правую часть уравнений. Придавая им произвольные значения, получимобщее решениесистемы (4):

Подставляем в общее решение следующие значения переменных (свободным неизвестным придаем поочередно значение 1, полагая остальные равными 0):

………………………

,

получим kразличных решенийПолученное множество решений называетсяфундаментальной системой решенийоднородной системы (4). С помощью фундаментальной системыобщее решение X системы(4) может быть записано в виде:

Пример: