4.2. Матричный способ решения слу.

Рассмотрим случай, когда m=nи матрицаА невырожденная, т.е. СЛУ квадратная и |А|≠0.

(2)

Систему можно переписать в матричном виде: АX=B (3), гдеА =– основная матрица системы,

X=столбец неизвестных,B=– столбец свободных членов.

Так как определитель матрицы |А|≠0, то существует обратная матрицаА^-1. Предположим, что существует решение системы (2), т.е. существует столбецX, обращающий в тождество матричное уравнение (3). Умножим (3) слева на обратную матрицуА^-1, получим:

А^-1(АX)= А^-1В.

В силу сочетательного свойства произведения матриц, а также равенства A^-1А=Е, получаем:

А^-1(АX)=(A^-1А)X=EX=X.

Таким образом X= А^-1B матричныйметодрешения СЛУ (2)

Проверка:Легко проверить, что столбецX, определяемый соотношением (5) является решением матричного уравнения (3), т.е. при подстановке в это уравнение обращает его в тождество. В самом деле:AX=A (А^-1B) = (A^-1А)B=EB=B =B=B  тождество.

Пример:

4.3. Формулы Крамера.

Рассмотрим квадратную СЛУ (2). Если определитель матрицы системы отличен от нуля, т.е. |А|≠0, то система имеет и притом одно решение. Это решение находится по формулам:

(j=1,n), гдеопределитель матрицы системы (главный определитель),_jопределитель, получаемый из главного определителя заменойjго столбца столбцом свободных членов.

_j =



jый столбец

Этот определитель называется вспомогательным.

Доказательство:

Запишем решение СЛУ X= А^-1Bв развернутом виде

===.

Таким образом в числителе записано разложение вспомогательного определителя поj-ому столбцу (по определению определителяn-го порядка)(j=1,n).

Докажем единственность.

Пусть существуют два различных решения и. Запишем систему (2) в видеx₁a₁+x₂a₂+…+x_na_n=B, гдеa₁=,a₂=,…,a_n=.

Подставляем решения в систему:

)

ˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉ

.

Так как хотя бы одна из разностей , то мы получаем, что столбцыа₁,а₂,…,а_n линейно зависимы, т.е. |А|=0, а это противоречит условию теоремы.

Основное значение формул Крамерасостоит в том, что они дают явное выражение для решения квадратных СЛУ через коэффициенты уравнения и свободные члены.

Пример:

=5 ₁== 5₂== 25₃== 10

.

§5. Ранг матрицы. Теорема кронекера-капелли. Решение произвольных методов гаусса. Однородные системы.

5.1.Ранг матрицы.

Рассмотрим произвольную матрицу:

А=(1)

Строки назовемлинейнозависимыми, если найдутся такие числане все равные нулю, что справедливы равенства

(j=1,n) или(2), где=(0,0,…,0).

Строки называютсялинейно независимыми, если равенство (2) выполняется лишь в случае, когда.

Выражение называетсялинейной комбинацией.

Для того, чтобы были линейно зависимыми, необходимо и достаточно, чтобы одна из этих строк являлась линейной комбинацией остальных строк.

Пример: – первая строка – линейная комбинация остальных двух.

Выделим в матрице (1) k строк и k столбцов (k min(m,n)).Миноромk-го порядкаматрицыAназывается определитель k-го порядка, составленный из элементов, стоящих на пересечении выделенных строк и столбцов. Наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных от нуля, называетсярангом матрицы. Обозначения r, r(A), rang A. Очевидно 0rang A min(m,n). Всякий минорr+1-го и более высокого порядка (если таковые существуют) равен нулю. Минор, порядок которого определяет ранг матрицы, называетсябазисным минором. Строки и столбцы, на пересечении которых стоит базисный минор, называются соответственнобазисными строкамиибазисными столбцами. У матрицы может быть несколько базисных миноров.

Пример: найти ранг матрицыA=.M₃=0,M₂==15r(A)=2.

Теорема о базисном миноре: Базисные строки (базисные столбцы) линейно независимы. Любая строка (любой столбец) матрицыАявляется линейной комбинацией базисных строк (базисных столбцов).

Теорема о ранге матрицы: Ранг матрицы равен максимальному числу линейно независимых строк (столбцов) в этой матрице.

Свойства ранга матрицы:

1) При транспонировании матрицы ее ранг не меняется;

2) При вычеркивании из матрицы нулевой строки (столбца) ранг матрицы не меняется;

3) Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях матрицы.