1. Тема: Точечные оценки числовых характеристик генеральной совокупности по опытным данным

2. Актуальность темы: математическая статистика – это раздел математики, изучающий приближенные методы отыскания законов и числовых характеристик по результатам эксперимента.

3. Цель занятия: закрепить основные понятия математической статистики; закрепить методику отыскания оценок характеристик генеральной совокупности по данным выборки.

3.1 Целевые задачи:

знать: понятие точечных и интервальных оценок распределения; формулы оценок характеристик распределения.

Уметь: вычислять точечные оценки характеристики распределения; находить интервальные оценки.

4. Краткие сведения из теоретического курса

Точечной называется оценка, которая определяется одним числом. Для того чтобы оценка давала хорошее приближение, она должна удовлетворять определенным требованиям: быть несмещенной, эффективной и состоятельной.

Несмещенной называется точечную оценку, математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру при любом объеме выборки. Смещенной называется оценку, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру. Эффективной называется статистическую оценку, которой (при заданном объеме выборки) имеет наименьшую дисперсию. Состоятельной называется оценку, которая при n  ∞ стремится по вероятности к оцениваемому параметру.

Пусть проведено n измерений некоторой случайной величины Х. В случае, когда выборка большая учитывают все повторения значений случайной величины в данной серии. Полученные измерения представлены в виде статистического ряда:

хi	х1	х2	…	хк
mi	m1	m2	…	mк

где х_i – значения случайной величины, m_i – частоты появления значений.

В случае, когда малая выборка повторения значений случайной величины в данной серии не учитывают, считают, что повторяющиеся значения, если таковые встречаются, вообще говоря, различны и статистический ряд имеет следующий вид:

хi:

х1;

х2;

…

хn.

Причем (общему количеству поведенных испытаний).

Оценка математического ожидания

Оценкой математического ожидания является среднее арифметическое значений: .

В случае, когда n велико оценка математического ожидания вычисляется по формуле:

,

где х_i – значения случайной величины, m_i – частоты появления значений, n – общее количество проведенных испытаний, k– количество значений случайной величины. Если частоты m_i не учитывают, то используют формулу:

,

где х_i – значения случайной величины, n – общее количество проведенных испытаний.

Оценку математического ожидания называют также выборочной средней.

Оценка дисперсии

Запишем формулу дисперсии дискретной случайной величины:

Так как , а, то получим:

Полученная величина называется дисперсией выборки и обозначается . Однако, эта оценка являетсясмещенной оценкой для дисперсии.

Несмещенной оценкой дисперсии считают величину: .

Несмещенную оценку дисперсии можно вычислять в зависимости от представления статистического ряда по формулам:

или .

Оценка среднего квадратического отклонения

Несмещенная оценка среднего квадратического отклонения .

Оценка средней квадратической погрешности среднего арифметического

Оценка среднеквадратической погрешности среднего арифметического вычисляется по формуле: .

При решении задач на вычисление оценок дисперсий расчеты удобно проводить в таблице.

Решение задач

1. Найти оценку математического ожидания и несмещенную оценку дисперсии, если дана таблица распределения:

хi	2	4	5	6
mi	8	9	10	3

2. Получена выборка значений случайной величины: 0,33; 0,34; 0,32; 0,33; 0,31 (нм). Найти оценку математического ожидания и оценку средней квадратической погрешности выборочного среднего.