doc2

Сучетом начальных условий: х0 =0, х0 =0, найдем С, =0. Тогда

XX=

Найдем постоянную интегрирования Сг с учетом начальных условий: х = 0 при / = 0; С2 = 0. Тогда

Ах = -2 t2g

Откуда уравнение движения цепи

х = gt1

О т в е т : х = g ' z

Задача 45.34

Цепь сложена на земле и одним концом прикреплена к вагонетке, стоящей на наклонном участке пути, образующем угол а с горизонтом. Коэффициент трения цепи о землю / Вес единицы длины цепи у, вес вагонетки Р. Скорость вагонетки в начальный момент % Определить скорость вагонетки в любой момент времени и выяснить необходимое условие, при котором вагонетка может остановиться.

Р е ш е н и е

Запишем дифференциальное уравнение движения вагонетки с цепью в проекции на ось х, учитывая, что абсолютная скорость присоединенной массы равна нулю (см. рисунок):

d(mx) v, r

Р + УХ

где т = —.

Р е ш е н и е

Запишем дифференциальные уравнения движения в проекции на декартовы координаты:

где р = д/^2 + Г|2.

Аналогично преобразуем и уравнение (2), которое примет вид

d\ + fMоП _

dx

= 0.

т.е. отвечают обычным уравнениям в случае постоянных масс. Поэтому в зависимости от начальных условий в переменных ^ и г| имеют место эллиптические, параболические или гиперболические орбиты.

Примечание. В задачнике в ответе опечатка: дано р2 вместо р3.

Задача 45.36

Для быстрого сообщения ротору гироскопа необходимого числа оборотов применяется реактивный запуск. В тело ротора вделываются пороховые шашки общей массой т 0 , продукты сгорания которых выбрасываются через специальные сопла. Принять пороховые шашки за точки, расположенные на расстоянии г от оси вращения ротора. Касательная составляющая эффективной скорости истечения продуктов сгорания ve постоянна.

Считая, что общий расход массы пороха в одну секунду равен д, определить угловую скорость со ротора к моменту сгорания пороха, если на ротор действует постоянный момент сопротивления, равный М. Радиус ротора R. В начальный момент ротор находится в покое.

Р е ш е н и е

Запишем закон изменения массы пороха: m = mQ-qt,

где t — время, которое изменяется от Ц - 0 до /2 = —• <7

Дифференциальное уравнение вращения ротора относительно оси г (см. рисунок):

Т d ( a

I— dt

где / = / р + (m0-qt)r2 — момент инерции ротора и пороховой шашки переменной массы; Mz = veqR- М — момент реактивной силы и сил сопротивления относительно оси z•

Итак, имеем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:

Задача 45.37

По данным предыдущей задачи найти угловую скорость ротора после сгорания пороха, если на ротор действует момент сопротивления, пропорциональный его угловой скорости (Ь — коэффициент пропорциональности).

Р е ш е н и е

В этой задаче по сравнению с предыдущей вместо постоянного момента сопротивления Мдан закон его изменения: Мс = Ьах Тогда дифференциальное уравнение вращения ротора запишем в виде

11рЧЩ-0)г2]^г dt = veqR-box

Разделим переменные и проинтегрируем это уравнение:

Введем обозначение

Iо = /р +m0r2

Тогда

О т в е т: со _ Rveg

Л).

Задача 45.38

Многоступенчатая ракета состоит из полезного груза и ступеней. Каждая ступень после израсходования топлива отделяется от остальной конструкции. Под субракетой понимается сочетание работающей ступени, всех неработающих ступеней и полезного груза, причем для данной субракеты все неработающие ступени и полезный груз являются «полезным грузом», т.е. каждая

ракета рассматривается как одноступенчатая ракета. На рисунке указана нумерация ступеней и субракеты.

Пусть q — вес полезного груза, Р, — вес топлива в /-й ступени, Qi — сухой (без топлива) вес /-Й ступени, G, — полный вес /-й субракеты. Вводя в рассмотрение число Циолковского для каждой субракеты

Zi G,

G,-P,

и конструктивную характеристику (отношение полного веса ступени к ее сухому весу) для каждой ступени

Si =Qi + Pi

Qi '

определить полный стартовый вес всей ракеты, вес к-й субракеты, вес топлива к-й ступени, сухой вес к-й ступени.

Указание. При решении задачи ввести а, — «относительный вес» /-й субракеты, т.е. отношение начального веса субракеты к весу ее полезного

Р е ш е н и е Найдем число Циолковского для первой субракеты