Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

doc2

.pdf

Скачиваний:

117

Добавлен:

31.05.2015

Размер:

14.26 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 6061 / 8761 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 > Следующая >>>

600	X. Динамика материальной системы

Р е ш е н и е

Масса аэростата увеличивается пропорционально длине поднятого каната. При этом абсолютная скорость поднимающейся части каната равна нулю. Следовательно, уравнение Мещерского примет вид

4 ( ю у ) = ]Г/Ь at

или
d			1
—(/их) = P—tng - pbr
или
dm .	-	п	о . 2	(1)
—x+mx		= P-mg-$x*.		(1)

Так как

' m = 0 + у х ,

то

dm у .

— - ~ — x . dt g

Подставим эти значения в уравнение (1) и получим

х2.

К gJ

Откуда

		Q+yx	Q+yx
О т в е т : x = -g	+—^—Qilljc2.
	Q+yx	Q+yx

Задача 45.30

При условиях предыдущей задачи определить скорость подъема аэростата. В начальный момент аэростат неподвижен и находится на высоте Н0.

45. Динамика точки и системы переменной массы (переменного состава)

601

Р е ш е н и е

Согласно решению задачи 45.29 дифференциальное уравнение движения аэростата

( о

Q+yx Q+yx

После преобразования

dx	dx	dx _dx	. _ 1 d(x2)
dt	dx	dt dx	2 dx

уравнение (1) примет вид

		=			+
2		dx				Q +yx	Q +yx
Сделаем в уравнении (2) замену переменных
.2			d(x2)			d(uv)	du	dv	и
x	= uv = > — — - = — — - =						dx	V + —	и
				dx		dx	dx	dx
и получим
1 (du		dv		Л		Pg		8g + у
- — v + —			и		= - g + —			——-uv.
2Kdx		dx		J		Q+yx		Q+yx
Произведем группировку:
		1 dv				(3g + y	uv,
		2 dx			u = ~——-		uv,
		2 dx				Q+yx
		1	du			Pg
		2	— v = -g + -~£—.
		2	dx			Q +yx

Из формулы (3) получим

Q + yx

Проинтегрируем это выражение:

,dv_	2(pg + у) j d(Q + ух)
v	У	Q + yx

( 2 )

(3)

...

(4)

602						X. Динамика материальной системы
и найдем
			lnv = - - ( f e + Y )			ln(g+yx).
				У
Откуда				v = [Q+yxJ, №
				v = [Q+yxJ, №						(5)
Из формулы (4) с учетом выражения (5) получим
		du = 2g		> 3 L			ф Л Г
		du = 2g		P(Q +ух)	'	-(Q+yx)	' ? j			(6)
		dx
Разделив переменные в выражении (6) и проинтегрировав, найдем
» = 2 g		Р	(Q+yx)Af1 - V) )			I	(Q+yx){ M , H+C
» = 2 g			(Q+yx)Af1 - V) )			I	(Q+yx){ M , H+C
	2y + 2pg				3y + 2 fe
Используя начальные условия: и =0, x=							#0 , определим постоян-
ную интегрирования
				[3+2— ]			I w
		r_(Q+yHj		-<>		P(Q+yH0){
			Зу+2Pg			2у+2рg
Тогда
х -=UV =	Ps	G+уЯо 2 1+£				2g(Q + yx)		Q + ^ o	f	V
	(p£+Y)		Q+yx			2Rg + 3y		Q+yx	J
О т в е т :	= -	^		Q + yfh П	TJ	2g (Q+yx)		(Q + уНц		l^y,
	(Ps+Y)			Q + yx )		2pg + 3y		l e + y x	J

45. Динамика точки и системы переменной массы (переменного состава)

603

Задача 45.31

Шарообразная водяная капля падает вертикально в атмосфере, насыщенной водяными парами. Вследствие конденсации масса капли возрастает пропорционально площади ее поверхности (коэффициент пропорциональности а). Начальный радиус капли г0, ее началь-* ная скорость v0, начальная высота й0. Определить скорость капли и закон изменения ее высоты со временем (сопротивлением движению пренебречь).

Указание. Показать, что dr = adt, и перейти к новой независимой пе-

ременной г.

Р е ш е н и е

Масса капли пропорциональна ее объему V, который, в свою очередь, пропорционален площади S ее поверхности. В результате получим соотношение

dVdt_= aS >4тсг2 dt -Anr2 a •

• dr = a dt => r = /j) + at.

Так как абсолютная скорость присоединенной массы равна нулю, то уравнение Мещерского в си-

стеме координат, ось которой проведена вертикально вверх, а начало расположено на поверхности Земли (см. рисунок), имеет вид

dt (тх) - -mg.			(1)
С учетом того, что
	d	d
dr = a dt => — =		a — ,
	dt	dr
перепишем уравнение (1) в виде
d (	dx	-mg
a—\ma—	dr	-mg
dr V	dr

604					X. Динамика материальной системы
или	г( 1 dm dx			d2x^
	г( 1 dm dx			d2x^
	\т dr dr			dr
Вычислим
dm d (4	Л 4 t			2	3 4	3	3m	,
— = —	;	i	T Зкг у — — у • —кг				=	,
dr dr\3	;		3		r 3		r

где у — плотность воды.

Подставим это значение в формулу (2) и получим следующее диф-

ференциальное уравнение:
dr	—	*	(3)
dr	г dr	а
Решение однородного уравнения, соответствующего уравнению (3).
представим, в виде х = гк.
Подставим это соотношение в уравнение
d2x	\| 3dx-_Q
dr2+	г dr~	'

получим

А,(Я.-1)/А_2+ЗХ/А-2=0,

или

Ц1+2) = 0.

Корни этого уравнения

X, =0, Х2 = -2.

Следовательно,

Частное решение уравнения (3) ищем в виде х* = Аг2. Подставим это равенство в формулу (3) и получим

2А+6А = -~а1

45. Динамика точки и системы переменной массы (переменного состава)

605

Откуда

л — 8ад 2'

Ж*

8а2

Запишем общее решение уравнения (3):

X — х + х*

или

x = v-a—	dx	1аС2	gr	(5)
	dr	= — Y ^ - — .
		r	4a

Постоянную C2 определим из выражения (5) с учетом начальных условий:

vfa) = v0 С2 = 2a v 4a - v0

Тогда согласно формуле (5) скорость капли

°г3 4 а (

г 3 )

Постоянную С[ определим из формулы (4) с учетом начальных условий: дг0 = /го, и значения постоянной С2:

« * ) = * =*С, = А О - f

f -

- v o V - ^ r o 2 =

4a2

2a V 4a

8a2

В результате получим

Лv -—

h 4-

o o , W

fflo

vp/6

Пп

2 a

4a2

8a V

2ar2

—

"1 v

r -

606	X. Динамика материальной системы
О т в е т : л: = А„+ —	1 -
2а

L где r = % + at.

Задача 45.32

Решить предыдущую задачу в предположении, что на каплю кроме силы тяжести действует еще и сила сопротивления, пропорциональная площади максимального поперечного сечения и скорости капли Д = -4(}ТСГ2У ((J — постоянный коэффициент).

Р е ш е н и е

Согласно условию задачи скорость возрастания
массы капли прямо пропорциональна площади ее
поверхности, т.е.
	А
где т = Ю ^ (у — плотность воды); S = 4кг2.	mg
	R
Так как абсолютная скорость присоединяемых	О
частиц равна нулю, то дифференциальное уравне-	О
ние движения капли в проекции на вертикальную
ось х (см. рисунок) имеет вид

Подставим в уравнение (1) вместо т и dt их значения:

т =	Ч dt = —.
3	а

Тогда уравнение (1) примет вид

d{r3v)	-0 2	з
— — -	+ 3(3/"v =	- г .

(1)

( 5)

45. Динамика точки и системы переменной массы (переменного состава)

Введем замену г v = fV и представим уравнение (2) в виде

dW	ЗВ W	ггг		(уравнение Бернулли).
dr	+ — — =	а		(уравнение Бернулли).
dr	or	а
Решаем уравнение (3) с помощью					подстановки:
			W = uz.
Тогда
	dW			dz	du
	dr		= u— + z—•
	dr			dr	dr

С учетом выражений (4) и (5) уравнение (3) примет вид

dz	du	3(3			r3g
u— + z— + — uz =					a
dr	dr	ar			a
или		^36			rg-
dz	( du	^36			rg-
U — + Z — + — u					3
U — + Z — + — u					a
dr	dr	a r			a
Сначала решим уравнение
	du	ЗВ
	— + - t - « =0.
	dr	ar
Разделим переменные и проинтегрируем.
	du	ЗВdr	=	„
	— +		=
	u	ar

откуда	a
откуда
	u = r a.
Теперь решим уравнение

607

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

u ^ - U . dr a

608							X. Динамика материальной системы
или, учитывая выражение (7),
Разделим переменные:				dr		а
Разделим переменные:
		dz =		g	-(а+р)		dr,
		dz =		а			dr,
и, интегрируя, получим
			gra (4a+3(J)
		z = - 4а+3(3 •+с.							(8)
Подставим выражения (7) и (8) в уравнение (4), получим
				i(4a+3\|})
		W = r	«	-grD			•+С
				4а+3(3
Произвольную постоянную С найдем из условия: при г = щ v = v0,
Ж0 = r03v0.
Следовательно,
			_2Ё	— <4a+3P)
	rfvo = п, "			4a + 3j3			-+С
				4a + 3j3
откуда
			-(a+ji)			вга <4a+3fi)
		C = v0r0a			+8°
						4а+3(3
и окончательно
	er	--(а+Р)				3		о	i.(4a+3fj)
v =	er	--(а+Р)				- ( а + Р )		о	Г и
v =	5	+r	а					4а+ 3(3
	4а+3(3							4а+ 3(3
Для нахождения х воспользуемся						зависимостью
	dx	или	dx	v		или		,	v ,
	— = v,	или	— = —,			или		dx = —dr,
	dt		dr	a					a

45. Динамика точки и системы переменной массы (переменного состава)										609
откуда после интегрирования, учитывая, что х0 = 0, получим
				2а(4а + 3(3)				2а + 3р
							1		]
	~(2а+ЗР)			--(2а+3р)			1		— (4а+3р)
г	~(2а+ЗР)			--(2а+3р)			— (4а+зр)		а
г	в			- г 0 а		т а		-	*4а+3(30
						т а		-	*4а+3(30
			gr	3,	т	— (4а+ЗР)			-(а+Р)
О т в е т : v = —				Woа(а+Р» gH					-(а+Р)
О т в е т : v = —				Woа(а+Р» gH
	4а+3\|3					4а+ 3р
х -	ho-		g(r2-r02)				-i(2a+3p)		(2а+ЗР)
х -	ho-		2а(4а+3(})		2а+3(3		Г	а	~го01
			2а(4а+3(})		2а+3(3
	1	(4а+3р)		i (4а+3р)
т	-	(4а+3р)		е г а	-	, где г = г0 +а/.
т	а			0	-	, где г = г0 +а/.
				4а+зр

Задача 45.33

Свернутая в клубок тяжелая однородная цепь лежит на краю горизонтального стола, причем в начале одно звено цепи неподвижно свешивается со стола. Направляя осьх вертикально вниз и принимая, что в начальный момент х = 0 , х = 0, определить движение цепи.

Р е ш е н и е

Обозначим плотность материала цепи у, составим дифференциальное уравнение движения цепи при wa6c =0:

d .	dx d		. d , .,
—(yxx) = yxg,	——(Xx)=xg,		dx	x—(xx)=xg,
dt	dx dt		dx
	xx~(xx)	= x2g.		(1)
	dx

Проинтегрируем уравнение (1) и получим

2 3

<<< < Предыдущая 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 6061 / 8761 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
04.11.20181.76 Mб131doc1.doc
#
31.05.20151.09 Mб27doc1.pdf
#
31.05.20157.09 Mб38doc1.pdf
#
31.05.201511.39 Mб536doc1.pdf
#
31.05.201541.17 Mб66doc1.pdf
#
31.05.201514.26 Mб117doc2.pdf
#
31.05.2015271.87 Кб17document.doc
#
01.05.2025322.77 Кб1Doc_Osnova (1).docx
#
27.09.2019128.65 Кб2Dokument_Microsoft_Office_Word_Vosstanovlen (2)...docx
#
14.04.2019104.86 Кб3Dokument_Microsoft_Word(2).docx
#
01.07.2025849.72 Кб0Dokument_Microsoft_Word_2.docx