Методичка по Лабе 121
.pdf
|
|
10 |
|
x |
|
= cosωt , |
|
|
|
|
|
a |
|||
|
|
(16а) |
|
y |
|
= cos (ωt + ϕ) = cosωt cosϕ − sin ωt sinϕ |
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
С учетом первого уравнения, второе уравнение системы (16а) преобразуем следующим образом :
y |
= x cosϕ − sinϕ |
1− x2 |
, |
b |
a |
a2 |
|
y − x cosϕ = − sinϕ |
1− x |
2 . |
|
b |
a |
a |
2 |
Возведем обе стороны этого уравнения в квадрат:
y2 |
+ |
x2 |
cos |
2 |
ϕ − |
2xy |
cosϕ = sin |
2 |
ϕ − |
x2 |
sin |
2 |
ϕ |
b2 |
a2 |
|
ab |
|
a2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и, окончательно упростив, получим вид вид функции y(x):
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
+ |
y 2 |
|
− |
2xy |
cosϕ = sin 2 ϕ |
(17) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
b2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ab |
|
||||
Вид траектории y(x) существенно зависит от разности фаз ϕ (рис. 10): |
|
||||||||||||||||||||
a) φ= 0, |
x |
|
|
y |
2 |
0 , |
|
|
b |
|
|
|
- отрезок прямой линии, |
|
|||||||
|
|
|
− |
|
|
= |
y = |
|
x |
|
|
||||||||||
|
a |
|
|
b |
2 |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
б) φ= ±π, |
x |
|
|
y |
0 , |
|
|
|
b |
|
|
- отрезок прямой линии, |
|
||||||||
|
|
|
+ |
|
|
|
= |
y = − |
|
|
x |
|
|
||||||||
|
|
|
a |
|
|
||||||||||||||||
|
a |
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
в) φ = ± π/2, |
x2 |
|
+ |
y2 |
|
= 1 |
- эллипс. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
b2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Рис. 10. Фигуры Лиссажу для соотношения частот 1/1.
|
|
|
11 |
2) Рассмотрим случай, когда ω1 /ω2 = 1/ 2 и ϕ = 0 : |
|
||
x = a cosωt |
18) |
||
|
|||
y = b cos 2ωt. |
|
||
Выразим во втором уравнении системы (18) cos 2ωt через |
cosωt , а этот |
||
косинус – из первого уравнения: |
|
||
cos 2ωt = 2cos2 ωt −1; cosωt = x / a . |
|
||
Тогда |
|
||
y = b(2cos2 ωt −1) = b(2x2 / a2 −1) = |
2b |
x2 − b |
(19) |
a2
Это уравнение параболы (рис. 11).
y 
x
x = a / 
2
y=-b
Рис. 11. Фигура Лиссажу для соотношения частот 1/2.
12
На рис.12 представлены примеры фигур Лиссажу для некоторых соотношений частот (указаны слева) и разностей фаз (указаны вверху) складываемых колебаний (предполагается, что их амплитуды одинаковы).
ϕ = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π / 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π / 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3π / 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1:1
1: 2
1: 3
2 : 3
Рис. 12
13
2.Порядок выполнения работы
2.1 Получение фигур Лиссажу для различных соотношений частот складываемых колебаний.
1. Включить генератор, осциллограф и блок питания.
2.Установить на генераторе частоту 25 Гц.
3.Получить на экране осциллографа фигуру Лиссажу. Остановить (зафиксировать) полученную фигуру можно более тщательной подстройкой частоты генератора.
4.Зарисовать фигуру Лиссажу в таблицу 1 (строка с соотношением частот 25/50) в моменты времени, отличающиеся друг от друга на Т/4 , где Т - период изменения вида фигуры.
5. Изменяя частоту генератора от 25 до 150 Гц (частота второго колебания, поступающего с блока питания, остается неизменной и равной 50 Гц ), аналогичным образом зарисовать фигуры Лиссажу для соотношений частот, указанных в таблице 1.
2.2 Определение соотношение частот складываемых колебаний составного маятника.
1. Открыть дверцу на передней панели установки и укрепить на металлической подставке лист бумаги.
2.Одной рукой отклонить верхний маятник на небольшой угол и одновременно второй рукой отклонить нижний маятник. Осторожно отпустить оба маятника (конец нижнего маятника при этом должен выписывать фигуру Лиссажу, которая должна помещаться на лист бумаги ).
3.Плотно закрыть дверцу на зажим и включитъ установку с помощью тумблеров «Вкл». Между концом нижнего маятника и стальной подложкой должен возникнуть разряд.
4.Отключить установку (тумблеры «Вкл» вернуть в исходное состояние) после того как маятник совершит одно полное колебание.
5.Открыть дверцу и достать лист бумаги.
6.Обвести карандашом полученную траекторию, образованную на бумаге следами от разряда.
7.Сравнивая полученную траекторию с видом фигур в таблице 1, определить соотношение частот складываемых колебаний составного маятника.