Строительная механика учебник

Матрица K является квазидиагональной:

"0,27

'

"0,27

"

diagK =

[3],

4

- 2 , [3], [3],

4

- 2

[3],

-

2

4

- 2

4

У

"0,54

'

"0,54

'

Т

Н

[6],

8

- 4

, [6], [6],

8

- 4

,[6]

E J

4

'

- 4

8

-

4

Б

8

Вектор нагрузки принят следующим:

й

и

0, 0, 0, 0, 0,

Размерность сил - кН.

р

о

Решив систему уравнений

(A K A T ) z = F , получим:

и

Z = [-315,68; 79,48; -

40,12; -276,91; 98,30; 48,77; - 276,91;

-98,30; - 48,77;т-315,68; -79,48; 4 0 ,1 2 f— .

о

J

E J

п

S = [29,10;з-1,27; 30,27; 14,17; 15,34; 15,34; -1,27; 14,17;

Р

30,27; 29,10; 117,54; 1,17; 118,82; 58,96;

60,23; 60,23;

1,17; 58,96; 118,82; 117,54]r .

еЭпюра изгибающих моментов показана на рис. 15.34.

15,34/'

■29,10

/

30,27

' Ч Щ w

i t e r

У

29,10

30,27

14,17

Т

117,54

Н

118,82

Б

118,82

60,23

58,96

117,54

( к И - м )

й

и

Рис. 15.34

нагрузки

пр нять в виде:

Если в этом примере вектор

F

о

= [-100; -1 3 ; 53; 0; 0; 0; 0; 0; 0; -1 0 0 ; 13; - 5 3 ] ,

то получим:

з

z T

= [-284,09; 63,23;т-2 ,3 5 ; -238,28; 88,28; 36,61; -238,28;

о

-88,28;и-33,61; -284,09; 63,23; 2,35]- —

п

J E J

е

Р

S = [51,50; -1,69; 2,72; 15,25; 19,47; 19,47; -1,69; 15,25;

2,72; 51,50; 118,21; 4,22; 106,91; 44,61; 46,30;

46,30; 4,22;

44,61; 106,91; 118,21]Т.

A (M M 2) =

j d U ( x , y , z ) = U 2 -

U 1 •

(16.3)

(M !)

У

Т

Работа потенциальной силы равна разности значений силовой функ­

ции в конечной и начальной точках пути движ ения силы. Из соотнош е­

ния (16.2) следует, что силовая функция находится из равенства:

U = j (F x d x + F y d y + F z d z) + C .

Н

П остоян н ая C

Б

м ож ет им еть лю бое значение. К ак

видно из р а ­

вен ства (16.3), р аб о та си лы о т

C не зависит.

С илы тяж ести , такж е

как

и силы уп р у го сти

уп ругого

тела,

как

и

без

при ади абатическом п роцессе (то есть процессе, п рои сходящ ем

теп лообм ен а с окруж аю щ ей средой), так

при и зотерм и ч ески х п р о ­

ц ессах (то есть процессах, п

равлен

хйв ф зи ческой систем е при

ои сход ящ

п остоян н ой тем п ературе)

потенц

альны . Д ля эти х си л сущ ествую т

силовы е функции.

т

Так, для силы тяж ес и

F

, н ап

н ой вдоль оси

z (ось z

н а ­

п р ав л ен а

по

вер

к ал и

вверх), и м еем

Fz = - F и

dA = - F

d z .

П ри н и м ая

U

ти

получим :

= 0

при z = 0

з

U

= - F z .

го А Z

x

п

16.1) н а­

С ила у

р у

сти в цен трально растян утом стерж не (рис.

п равлен а в ст

р ну, п роти вополож н ую вн еш н ей силе F .

е

Р

F

0

П оэтом у F x = - F =

- r

x

( r

- ко эф ф и ц и ен т ж есткости у п р у ­

гого стерж ня). Э лем ен тарн ая раб о та это й си лы р авн а dA = - r x d x .

С читая U = 0

при

x = 0 , находим :

U =

- 1

r x

2 .

2

Т

В п отен ц и альн ом

силовом

поле

проекции

силы равн ы частн ы м

прои зводн ы м

от си ловой ф ункции

по соответствую щ и м

коордиУн а­

там. Д ей стви тельн о, из равен ства (16.2) следует, что:

Н

F

= —

F

= —

F

= —

x

d x ’

y

d y ’

z

d z

й

и

О п ределяя см еш анны е п роизводны е дл я

U , находимБ:

dF x

d 2U

р

d 2U

d F y

т. д.

—

^

= ----------,

—

^- =

--------

d y

d x d y

d x

d x d y

о

С ледовательно,

т

и

d F y

dF z

dF z dF x

dF x

d F y

з

d x ’

d z

d y

d x

d z

d y

Эти с

работы

я явл яю тся н еобходи м ы м и и достаточн ы м и у с ­

тн

ш ен

п

лови ям и

тен ц и альн ости си лового поля.

П отенциальн й энергией в дан н ой точке

M

поля назы ваю т вели ­

е

, которую соверш ила бы сила поля при перем ещ ении

чи н у то й

м ат риальной точ ки из данного полож ения в то, в котором потенци ­

Р

альная эн

П = A (M O).

Т ак как дл я ф ункций

П ( x, y , z ) и U ( x, y , z )

нулевы е зн ачен ия

совпадаю т (следует из определений), то из (16.3) при U 0 = 0

получаем:

A (MO) = U 0 - U = - U ,

где

U —значение силовой функции в точке M .

Таким образом, получаем:

У

П (x, y, z) = - U (x, y, z).

Т

Работу потенциальной силы можно вычислять не по выражению

(16.3), а по формуле:

A .M М 2) = П 1 - П 2 ,

то есть она равна разности значений потенциальной энергии в на­

чальном и конечном положениях точки.

Н

й

Работа и энергия, разумеется, измеряются в одних и тех же единицах.

Напомним, в системе СИ основными единицами

Бявляются: метр (м) -

система

единица длины, килограмм (кг) - ед н ца массы, секунда (с) - единица

метр

времени. Единицей работы и энерг

является джоуль (Дж). 1 Дж равен

работе, которая совершается силой в 1Н на пути в 1 м.

о

МКГСС. Единицей рабо­

В технике часто используется

ты является 1 килограмм-сила-

(1 кГс-м) - работа, которая со­

т

вершается силой в 1 кГс на пу и в 1 .

и

Соотношения между единицами: 1 кГс • м = 9,81 Дж; 1 Дж =

= 0,102 кГс-м.

з

16.2. Потенц

альная энергия деформации упругой системы

го

Частным случаем общего определения потенциальной энергии,

п

данного в разделе 16.1, является определение потенциальной энер­

воде

деф

рмированного тела, то есть поля сил упругости.

гии у

руг

Пот нциальная энергия U деформации упругой системы - это ве­

Р

личина той работы, которую совершили бы внутренние силы при пе­

р

из деформированного состояния в недеформированное; это

2 0

E A

У

а при чи сто м изгибе:

U (M ) = 1 j M 2d x

Т

2 0

E J

'

В общ ем случае для плоской стерж н евой систем ы :

Н

1 *M 2dx 1 ^ f N 2d x

1 ^ f u Q 2dx

U = - E

j ----------- + -

E

j ---------- + - E jБ— — .

2

J

E J

2 J E A

2

J GA

В эти х вы раж ен и ях U

зап и сан а ч

езйус л я.

М ож но представи ть U

чер ез ф ункц , вы раж аю щ и е п ер ем ещ е­

н ия то ч ек

(сечений)

стерж ней . Н апимер,

и сп ользуя ди ф ф ерен ц и ­

альны е зависим ости:

ер

N = E A и ' и M = E J y " ,

о

получим :

т

и

1

l

з

U (N ) = -

j E A и '2d x ,

2

0

о

1

l

п

U (M ) = - j E J y "2d x .

е

2

0

В н екоторы х случ аях эн ерги ю

деф орм ац и и

стерж н я у д о б н о в ы ­

рази ть не

через ф ункции

u ( x )

или

y ( x ) ,

а через п ерем ещ ен и я о т ­

Р

исп ользуется п о ­

нятие

об у дел ьн о й

п отен ц и альн ой эн ерги и U 0 (иначе, о п лотности

энергии). О на р авн а площ ади, огран и чен н ой кри вой

а

— s

, осью s

и соответствую щ ей

кон ечном у значению о тн оси тельн ой

д еф о р м а­

ц и и верти калью (рис. 16.11). П отенц и альн ая

эн ерги я

деф орм ац и и

тела

вы чи сляется

чер ез

удел ьн у ю эн ерги ю

по

вы раж ению

Т

на этом рисунке обозначена допол-

V

Н

нительная потенциальная энергия (дополнительная работа). Д ля линейУ-

тт

ттdon

но-упругого стерж ня U =

U .

Б

16.3. Выражение потенциальной энергии деформации

й

через квадратичные формы

обобщенных перемещений и обобщенных сил.

и

Производные от выражений потенциальной энергии

Э н ерги я деф орм ац и и

U , равн ая работе вн еш н и х сил, оп р ед ел я ­

ется равенством :

о

т

U = 2 (F 1 A 1 + Fр2 A 2 + — + F n A n ) =

и

A1

з

An

(16.4)

о

A2

= 1

F T A.

2

п

е

, то:

Т ак как A = A • F

1

^ T

(16.5)

U = -

F T A F .

2

РП олучен а м атри чн ая зап и сь квадрати чн ой ф орм ы

n

п ерем ен н ы х

F 1, F 2, — , F n , где

A - м атри ц а квадрати чн ой ф ормы :