Теория вероятностей_методичка
.pdf6. Числовые характеристики СВ
К числовым характеристикам СВ относятся: математическое ожидание М(Х), дисперсия D(Х), среднее квадратическое отклонение (Х), начальные и центральные моменты и др.
|
6.1. Математическое ожидание и его свойства |
|
Т |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1, x2 , , xn |
|
||||
|
Дискретная СВ принимает значения |
с вероятностя- |
|||||||||||||||
|
|
|
|
, , p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
|
ми |
|
p , p |
2 |
n |
. |
Математическим ожиданием |
СВ называется |
||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
||
число М(Х), которое определяется соотношением |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
Б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M ( X ) xi pi . |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
й |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Если непрерывная СВ задана плотностью распределения p(x) , то |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|||
математическое ожидание определяется |
|
нтегралом M (X ) x p(x) dx . |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Математическое ожидание ха акте |
|
зует среднее значение СВ. |
||||||||||||||
|
3) |
M (X Y ) M (X ) гоM (Y ) ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Свойства математическ |
жидания: |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1) |
M( c ) c, |
|
где c const ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2) |
M( kX ) kM( X ), где k const ; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
4) M (X Y ) M (Xт) M (Y ) , если СВ X и Y независимы. |
|
|
||||||||||||||
|
6.2. Дисперсияиее свойства |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Начальнымзм ментом k-го порядка называется математическое |
||||||||||||||||
ожидание СВ Хk. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Для дискретныхо |
случайных величин |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Р |
|
|
|
|
|
|
k M ( X |
k |
n |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pi . |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
) xi |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
||
Для непрерывных случайных величин |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k xk p(x) dx . |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21
Центральным моментом k-ого порядка называется математиче-
ское ожидание СВ ( X M ( X ))k .
Для дискретных случайных величин:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k M ((X M ( X ))k ) (xi |
M ( X ))k pi . |
|
У |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
Для непрерывных случайных величин: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
k (x M ( X ))k p(x) dx . |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Дисперсией называется центральный момент второго порядка: |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
Т |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
|
|||
|
|
|
|
|
D(X) 2 xi M ( X ) pi . |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Дисперсия характеризует степень разброса значений СВ относи- |
|||||||||||||||||||||
|
тельно математического ожидания. Дисперсия СВ равна разности |
|||||||||||||||||||||
|
математического ожидания квадрата СВ |
|
|
Б |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
квадрата математическо- |
||||||||||||||||||||
|
го ожидания. |
|
|
D(X ) M X |
|
|
й2 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
M (X ) . |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Свойства дисперсии: |
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1) |
D( X ) 0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2) |
D(k X ) k 2D( X ), |
оãäå k const ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
3) |
D(C) 0, |
ãäå |
|
C const ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4) |
D(X Y ) D(X ) D(Y ) , X, Y – независимые СВ. |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Средним квадратическим отклонением СВ называется корень |
|||||||||||||||||||||
|
квадратный дисперсии СВ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
из |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
о |
|
|
|
|
( X ) |
|
D( X ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Прим р 6.1. Дискретная СВ задана законом распределения. Тре- |
|||||||||||||||||||||
буетсянайти М(Х), D(X), (X). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
xi |
|
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
pi |
|
|
0,1 |
|
|
|
|
0,3 |
|
|
|
|
0,4 |
|
|
0,2 |
|
|
22
Решение.
n |
|
|
|
|
M ( X ) xi pi 0 |
0,1 1 0,3 |
2 0,4 |
3 0,2 |
1,7 , |
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|
|
M ( X 2 ) xi2 pi 02 0,1 12 0,3 22 0,4 32 0,2 3,7 , |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т |
|
||
|
|
D(X ) M (X 2 ) (M (X ))2 |
|
3,7 (1,7)2 |
0,81, |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
( X ) |
|
D(X ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Б |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0,81 0,9 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
Пример 6.2. Непрерывная СВ задана плотностью распределенияН |
: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
й |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
0, |
|
x |
|
1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
p(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 x 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Требуется вычислить М(Х), D(Xи), (X). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
Решение. |
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x |
4 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
M ( X ) xp(x) dx 3x3 dx |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x |
5 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
M ( X 2 ) |
|
x2 p(x) dx |
|
3x4 dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
п |
з |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
D( X ) M ( X |
2 ) (M ( X ))2 |
3 |
|
9 |
|
|
|
48 45 |
|
3 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Р |
|
|
|
, |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
16 |
|
|
|
|
|
|
80 |
|
|
|
|
80 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
( X ) |
D( X ) |
|
|
|
|
3 |
|
0,194. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
80 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23
|
|
7. Законы распределения СВ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
7.1. Законы распределения дискретных СВ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
СВ Х, которая принимает значения 0, 1, 2, , n с вероятностями |
|||||||||||||||||||
|
P(X k) C k pk qn k , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
||||||||
|
называется распределенной по |
биномиаль- |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ному закону. Биномиальный закон распределения может быть пред- |
|||||||||||||||||||||
ставлен в виде таблицы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
|
||
|
|
pi |
|
qn |
|
|
1 |
|
n 1 |
|
|
2 |
2 |
q |
n 2 |
|
|
|
pn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Cn p q |
|
|
|
Cn p |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Для биномиального закона M (X ) np; |
|
D(X ) npq . |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
Дискретная СВ Х называется распределенной по закону Пуассона, |
|||||||||||||||||||
если она принимает целые неотрицательные значения 0, 1, 2, , n… с |
|||||||||||||||||||||
вероятностями, которые определяются по формулеБПуассона: |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P( X k) |
k |
e , йnp . |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
из которых событие A |
появляется |
с вероятностью 0,4. СВ Х – число |
|||||||||||||||||||
|
|
Для закона Пуассона M (X ) D(X ) . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Пример 7.1. Произв ди ся 3 независимых испытания, в каждом |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
появлений событ я А. |
Требуе ся составить закон распределения и |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
з |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
вычислить числовые характеристики. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Решение. СВ Х пр н мает значения 0, 1, 2, 3, 4 и распределена |
|||||||||||||||||||
по бин миальн му |
акону. Определим вероятности: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
п |
|
|
P( X 0) q |
4 0,64 0,1296, |
|
|
|
|
|
||||||||||
е |
|
P(X 1) C1 p q4 |
4 0,4 0,63 |
0,3456, |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
P( X 2) C2 p2 q2 6 0,16 0,36 0,3456, |
|
|
|
|
||||||||||||||||
Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P(X 3) C43 p3 q 4 0,064 0,6 0,1536, |
|
|
|
|
P( X 4) p4 0,44 0,0256.
24
Закон распределения имеет вид:
xi |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
pi |
0,1296 |
0,3456 |
0,3456 |
0,1536 |
0,0256 |
M (X ) np 4 0,4 1,6 , |
У |
D(X ) npq 4 0,4 0,6 0,96 , |
Т |
|
|
( X ) D( X ) 0,96 0,98. |
|
|
Пример 7.2. Телефонная станция обслуживает 400 абонентов. |
||||||||||||||||||||||||
Вероятность того, что в течение часа абонент позвонитНна станцию, |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
|
|||||
равна 0,01 и постоянна для всех абонентов. На |
ти вероятность того, |
||||||||||||||||||||||||
что на станцию в течение часа позвонят не болееБдвух абонентов. |
|||||||||||||||||||||||||
|
Решение. По условию задачи п = 400, р = 0,01, т 2, = 4. |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
р |
|
40 |
e 4 |
|
41 |
e 4 |
|
42 |
e 4 |
|||||
|
P (m 2) P |
(0) |
P |
(1) P |
(2) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
400 |
|
400 |
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
400 |
|
|
|
400и |
|
1! |
|
2! |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
0! |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
e |
|
(1 4 8) |
|
|
0,238. |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
e |
|
|
54,576 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
з |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
7.2. Законы распределения непрерывных СВ |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
СВ Х на ывается равномерно распределенной на отрезке [a; b], |
||||||||||||||||||||||||
если пл тн сть распределения СВ на этом отрезке постоянна и рав- |
|||||||||||||||||||||||||
на |
|
|
, а вне трезка – равна 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
b a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Р |
|
п |
|
|
|
|
|
|
0, |
|
x a; |
x b |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
p(x) 1 (b a), |
x a;b . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для СВ, распределенной по равномерному закону, справедливы |
||||||||||||||||||||||||
следующие соотношения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25
|
0, |
|
x a, |
x a |
|
|
|
F (x) |
|
, |
a x b, |
|
|||
b a |
|
x b |
|
|
1, |
|
|
|
|
M ( X ) |
a b |
|
|
|
D( X ) |
|
|
(b a)2 |
|
У |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
. |
Т |
||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
12 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Непрерывная СВ Х, принимающая значения с плотностью рас- |
|||||||||||||||||||||||
пределения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
|
x 0, |
|
|
|
Б |
|
|
||||||
|
|
|
|
p( X ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e x , x 0, |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
называется распределенной по показательному (экспоненциально- |
|||||||||||||||||||||||
му) закону с параметром 0 . Для СВ, распределенной по показа- |
|||||||||||||||||||||||
тельному закону, справедливы следующ е соотношения: |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
x 0, |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
иx |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
F ( X ) |
|
|
0, |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
e |
|
, x |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
и |
|
|
|
1 , |
|
|
D( X ) |
|
1 |
, |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
M ( X ) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
з |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
о |
|
P( x ) e e . |
|
|
||||||||||||||||||
СВ Х называется распределенной по нормальному закону, если |
|||||||||||||||||||||||
ее |
|
|
|
p(x) |
|
2 e |
|
|
, 0 , |
|
|
||||||||||||
лотность распределения имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
п |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
( x a)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ргде а и – параметры распределения |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Для нормально распределенной СВ справедливы следующие соотношения:
26
|
1 |
x a |
|
|
2 |
|
||
F (x) |
|
|
|
, |
M ( X ) a, |
D( X ) |
|
. |
|
|
|
||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
Вероятность попадания нормально распределенной СВ на отре-
зок ; вычисляется по формуле: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|||||
|
|
P( X ) |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Вероятность отклонения нормально распределенной СВ от ее |
||||||||||||||||||||||
математического ожидания по абсолютной величине определяетсяТ |
||||||||||||||||||||||
по формуле: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Б |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
P( |
X a |
) |
2 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|||
Вероятность отклонения относительной частоты |
n |
от веро- |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ятности наступления события |
|
в сер |
йз n независимых испыта- |
|||||||||||||||||||
ний выражается формулой: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
P( p |
) 2 |
|
|
|
pq |
|
. |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
что пассажир, п |
дошедший к остановке, будет ожидать очередной |
|||||||||||||||||||||
|
|
з |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 7.3. Автобусы некоторого маршрута ходят строго по |
||||||||||||||||||||||
расписанию. Интервал дв жения 5 мин. Найти вероятность того, |
||||||||||||||||||||||
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
автобус менее 3 минут. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Решение. Случайная величина Х – время прихода пассажира на |
||||||||||||||||||||||
остановку, распределена равномерно на [0; 5]. Плотность распреде- |
||||||||||||||||||||||
л ния в роятностей имеет вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
е |
|
|
|
p(x) |
0, |
x 0, 5 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
1/ 5, x 0, 5 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
РПассажир будет ожидать автобус менее 3 минут, если он подой- |
дет к остановке в интервале времени от 2 до 5 минут после отправления автобуса.
27
5 |
1 |
|
x |
|
5 |
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||
P(2 x 5) |
|
dx |
|
|
|
1 |
|
|
|
. |
5 |
5 |
|
|
5 |
5 |
|||||
2 |
|
|
2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
Пример 7.4. Время Т безотказной работы двигателя автомобиля распределено по показательному закону. Известно, что среднее время наработки двигателя на отказ между техническим обслуживанием – 100 ч. Определить вероятность безотказной работы двига-
теля в течение 80 ч. |
|
|
|
|
|
|
|
У |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Решение. По условию задачи математическое ожидание СВ |
||||||||||||
равно 100 |
ч. Следовательно, |
1 |
100, |
10 2 . Тогда Тплотность |
||||||||
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
распределения времени безотказной работы двигателя имеет вид: |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
|
|
|
|
|
0, |
|
|
|
t 0, |
Б |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
p(t) |
|
|
|
|
t 0. |
|
|||
|
|
|
|
0,01e 0,01t , |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
|||
Функция распределения СВ Т |
|
|
|
|||||||||
|
и |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
0, |
t 0, |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F (t) P(T рt) |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
о |
|
e 0,01t , |
t 0 |
|
||||
|
|
|
|
1 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
определяет вероятность |
|
двигателя за время продолжительно- |
||||||||||
|
|
|
отказа |
|
|
|
|
|
|
|
||
стью t. |
|
|
вероятность безотказной работы двигателя за это вре- |
|||||||||
мя будет равна и |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
зR(t) 1 P(T t) e 0,01t . |
|
||||||||
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Функцию R(t) называют функцией надежности. Для нашего |
||||||||||||
случая |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
P R(80) e 0,01 80 |
e 0,8 0,45 . |
|
|||||||||
е |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пример 7.5. Текущая оценка ценной бумаги представляет собой |
||||||||||||
Рнормально распределенную СВ со средним значением 100 у. е. и |
дисперсией 9. Найти вероятность того, что цена актива (ценной бумаги) будет находиться в пределах от 91 до 109 у. е.
28
Решение. Так как a 100, |
|
|
D 3 , |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
то P(91 X 109) P | X 100| 9 2 |
|
2 (3) 0,9973. |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
8. Математическая статистика |
|
|
|
|
|
|
У |
|||||||||||||||
8.1. Выборочный метод. Статистическое распределение |
||||||||||||||||||||||
выборки. Эмпирическая функция распределения |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Изучение всего набора элементов генеральной совокупности ча- |
||||||||||||||||||||||
сто оказывается невозможным из-за больших материальных затрат |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т |
||
или бесконечности генеральной совокупности. В этом случае при- |
||||||||||||||||||||||
меняется выборочный метод. Сущность выборочного метода за- |
||||||||||||||||||||||
ключается в том, что из генеральной совокупности извлекаетсяН |
вы- |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
|
|
|||
борка. На выборке производят нужные исследования, а полученные |
||||||||||||||||||||||
результаты распространяют на всю совокупностьБ. |
|
|
|
|||||||||||||||||||
Пусть для изучения количественного пр знака Х из генеральной |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
совокупности извлечена выборка |
x1, x2 , x3, , xn объема n. Наблю- |
|||||||||||||||||||||
даемые значения хi признака Х называют вариантами, а последова- |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
тельность вариантов, записанную ив воз астающем порядке, – вари- |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ационным рядом. Статистическим |
аспределением выборки назы- |
|||||||||||||||||||||
вается перечень хi |
и со ве с вующих им частот тi или относитель- |
|||||||||||||||||||||
ных частот i. |
чески |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Статистическое распределение выборочной совокупности можно |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
з |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
представить граф |
|
|
в виде полигона или гистограммы. Поли- |
|||||||||||||||||||
|
|
частот |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
гоном |
|
|
|
выборочной совокупности называется ломаная линия, |
||||||||||||||||||
соединяющая т чки с координатами (xi ;mi ) . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Гист грамм й выборочной совокупности называется фигура, со- |
||||||||||||||||||||||
ставленная |
|
|
|
|
|
|
|
|
n h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
в декартовой системе координат из прямоугольников, |
|||||||||||||||||
основаниями которых являются частичные интервалы |
xi 1; xi , а |
|||||||||||||||||||||
высоты соответственно равны |
|
mi |
|
, где h x |
x |
. |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
i 1 |
|
|
|
|
Эмпирической |
функцией |
|
распределения |
называется функция |
||||||||||||||||||
|
|
nx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
РF |
(x) |
n |
|
, где nх |
– число вариант в выборке, меньших х; п – объем |
|||||||||||||||||
выборки. |
Эмпирическая функция |
распределения при |
больших п |
29
служит оценкой неизвестной функции распределения генеральной совокупности. Эмпирическая функция распределения обладает следующими свойствами:
1)0 F (x) 1 ;
2)эмпирическая функция распределения является неубывающейУ функцией, т. е. если x2 x1 , то F (x2 ) F (x1) ;
3)если x1 – наименьшая варианта, а xn – наибольшаяТварианта,8.2. Точечные оценки неизвестных параметров распределенияН
Статистической оценкой неизвестного параметра генеральной совокупности называется функция от наблюдаемых значений слу-
чайной |
величины Х. Сами |
|
наблюдаемые значения (варианты) |
||||||||||||
x1, , xn |
|
рассматриваются |
|
как |
значения пБнезависимых СВ |
||||||||||
x1, , xn , имеющих тот же закон распределения, что и изучаемая |
|||||||||||||||
СВ Х. Поэтому статистические оценки йтакже являются случайными |
|||||||||||||||
величинами. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Статистическая оценка называется точечной, если она определя- |
||||||||||||||
ется одной величиной. Т чечная |
ценка, математическое ожидание |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
||||
которой равно оцениваем му параметру, называется несмещенной, |
|||||||||||||||
в противном случае – |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
смещенной |
|
||||||||
|
Несмещенной оценкой для математического ожидания генераль- |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
xâ |
– выборочная средняя: |
|||||||||
ной совокупности является |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
з |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
xâ |
|
|
|
|
ximi . |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n i 1 |
||||
|
См щ нной оценкой для дисперсии генеральной совокупности |
||||||||||||||
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Dâ , а несмещенной оценкой для |
||
явля тся выборочная дисперсия |
|||||||||||||||
дисперсии |
генеральной совокупности является исправленная выбо- |
||||||||||||||
Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
рочная дисперсия S 2 .
k
mi xi xâ ,
i 1
30