109

цией таких функций ξ = ξ1 + ξ2 = 2Asin kxcos t . Т.е. решением волнового уравнения является уравнение любой волны.

Всякий раз, когда из физических соображений можно установить, что та или иная физическая величина s удовлетворяет уравнению вида:

то на основании вышеизложенного можно заключить, что процесс изменения этой величины носит характер плоской волны, распространяющейся в ту или другую сторону со скоростью υ, или суперпозиции таких волн.

5. Распространение продольных волн в твердых телах.

Рассмотрим распространение продольных волн в твердом свободном стержне. Следует напомнить, что при распространении волны (как поперечной, так и продольной ) частицы среды не движутся вместе с волной, а совершают гармонические колебания около своих положений равновесия. В продольной волне частицы среды совершают колебания вдоль направления распространения волны. Распространение продольной волны представляет собой распространение областей сжатий и разряжений, т.е. связано с продольным растяжением и сжатием отдельных участков твердого тела. Для таких деформаций выполняется закон Гука

где σ = F/S – механическое напряжение, возникающее под дей-

ствием растягивающей (сжимающей) силы F в стержне с площадью поперечного сечения S, а ε = x /x –относительное удлинение стержня (элемента стержня), начальная длина которого равна x. Коэффициент пропорциональности Е известен как модуль продольной упругости или модуль Юнга. Модуль Юнга зависит только от материала тела и не зависит от его формы и размеров.

Выделим в стержне некоторый элемент, заключенный между двумя плоскостями x и х+ х, первоначальная длина которого равна x (рис.4). Пусть в результате деформации, которая возникает в стержне при распространении волны, плоскость с коор-

ускорение д2 /дt2 его центра масс, а справа – результирующая внешних сил, действующая на элемент стержня.

Разделим уравнение на S x :

Перейдя к пределу при x 0 , получим уравнение

Это уравнение справедливо в каждой точке стержня. Оно указывает, что ускорение данной точки пропорционально частной производной напряжения по x в этой точке.

Подставляя в (12) соотношение (10), получим:

Вспомнив связь деформации ε и смещения ξ (11), окончатель-

Уравнение (14) есть не что иное, как волновое уравнение (см.(9)). Оно указывает, что смещение распространяется по

или образует суперпозицию таких волн.

Если сравнить (9) и (14), то становится очевидным, что ско-

рость распространения волны смещения ξ (скорость звука в стержне) равна:

Эта скорость тем больше, чем жестче и чем легче материал. Формула (16)—одна из основных формул акустики.

которой .движутся отдельные плоскости х = const (не смешивать

с υ), деформация и напряжение = Еε. Дифференцируяx

Таким образом, смещение, скорость, деформация и напряжение распространяются в виде связанных определенным образом между собой недеформирующихся волн(15,17-19), имеющих одну и ту же скорость и одинаковое направление распространения. Дойдя до конца стержня, эти волны отражаются. Если длина стержня кратна λ/4, то в результате суперпозиции бегущих и отраженных волн появляются стоячие волны смещения , ско-

6. Распространение продольных волн в и жидкостях.

Будем считать, что рассматриваемая жидкость представляет собой сплошную непрерывную среду и находятся в очень длинной цилиндрической трубе, образующие которой параллельны

оси х. Под смещением будем понимать общее смещение ве-

щества, заполняющего объем, которое зависит только от координаты х.

Применяя к столбу жидкости, заполняющему трубу, те же рассуждения, что и к стержню, придем к уравнению

где р = — есть давление в газе или жидкости (давление определяется как сила, действующая на единицу площади поверхности, и, таким образом, эквивалентна механическому напряжению). Здесь 0 — значение плотности в состоянии рав-

новесия. Пусть ей соответствует давление р0. Величины р0, 0

не зависят ни от х, ни от t.

Уравнение (20) применимо и в случае плоских волн в неограниченной жидкой или газообразной среде (можно мысленно выделить цилиндрический столб, параллельный направлению распространения и применить к нему те же рассуждения, что к столбу, заключенному в трубе).

Введем обозначения

где р — изменение давления при нарушении равновесия.

Подставляя (25) в (24) и принимая во внимание, что при равновесии давление не зависит от х, т. е.

р0 0

x

получаем:

Найдемтеперь связь между р и деформацией = x .

Экспериментально установлено, что изменение объема V пропорционально изменению давления p и первоначальному

объему V0 . Математически это описывается соотношением:

где знак минус означает, что объем уменьшается с увеличением давления. Коэффициент пропорциональности В называется модулем объемной упругости (иногда модулем всестороннего сжатия). Понятие модуля продольной упругости или модуля Юнга для жидкостей и газов неприменимо, поскольку жидкости и газы не имеют определенной формы.

Для изменения объема жидкости в цилиндрической трубе справедливо соотношение(рис.6):

Подставляя, наконец, (28) в (26), получаем волновое уравнение:

из которого следует, что смещение вещества распространя-

ется в жидкости в виде продольной волны:

ξ = Asin(ωt-kx),

скорость которой равна:

Наряду с продольной волной смещения в столбе жидкости будут распространяться бегущая продольная гармоническая волна колебательной скорости u и волна избыточного давления р. Эти волны определяются уравнениями:

u = A cos(ωt k x),р = Вkcos(ωt kx),

где колебательная скорость u и избыточное давление р получены из уравнения смещения:

Отразившись от свободной поверхности жидкости, волны смещения, колебательной скорости υ и избыточного давления р распространяются в обратном направлении. Если длина столба жидкости кратна λ/4, то в результате суперпозиции бегущих и отраженных волн появляются стоячие волны смещения , ско-

рости υ и избыточного давления р:

ξ = ξ1 + ξ2 = 2Asin kxcos t, u u1 u2 2А sin kxsin t,

p p1 p2 2Вk cos kxcos ωt.

Будет ли на границе отражения узел или пучность, зависит от соотношения плотностей сред. Волна, отражаясь от более плотной среды, меняет фазу на противоположную и у границы происходит сложение колебаний с противоположными фазами, в результате чего получается узел. Если же волна отражается от менее плотной среды, то изменения фазы не происходит и у границы колебания складываются с одинаковыми фазами – образуется пучность.

7. Способы получения ультразвуковых колебаний(УЗК).

Для получения ультразвуковых колебаний в феррите и жидкости в данной работе используются магнитострикционный эффект. Прямой магнитострикционный эффект – это изменение размеров (деформация) ферромагнетика при намагничивании. Если по обмотке возбуждения 2, вдоль оси которой расположен ферромагнитный стержень 1 (рис.5.), пропускать переменный ток ультразвуковой частоты, то стержень будет периодически изменять свои размеры и его колеблющиеся концы смогут возбудить в окружающей среде ультразвуковую волну. Колеблющийся магнитный стержень называют вибратором.

Рис.5.

В данной работе вибратор изготовлен из феррита — ферромагнитного материала, получаемого спеканием окислов двухвалентных металлов с окислом трѐхвалентного железа. Феррит обладает значительной магнитострикцией и высоким удельным сопротивлением, поэтому потери в ферритовом вибраторе на

вихревые токи незначительны. Основным недостатком феррита является его малая механическая прочность: ферритовые вибраторы при достижении интенсивности ультразвука порядка 2-4 Вт/см2 терпят излом. Обычно амплитуда колебаний магнитострикционного вибратора мала, так как относительное измене-

лебаний в магнитострикционных излучателях используют явление резонанса.

8. Собственные колебания свободного стержня.

Если возбудить продольные колебания незакреплѐнного стержня, то в самом стержне при определенных условиях устанавливается стоячая волна. Причем на концах стержня будут

наблюдаться пучности смещения (отражение от менее плот-

ной среды). Координаты пучностей находим из условия cos kx 1, kx = nπ. x = nπ /k = nλ/2, где n = 0,1,2,.. . Т.е. образо-

вание стоячей волны смещения возможно при условии, что:

называются собственными частотами колебаний свободного стержня. Собственная частота при n = 1 называется основной собственной частотой. Остальные собственные частоты называют гармониками соответствующего порядка. Если колебания в стержне возбуждать при основной собственной частоте, то колебания стержня будут происходить с наибольшей амплитудой. Стержень можно крепить в узловых точках. При возбуждении на основной частоте его крепят за середину резиновым колпачком.

9. Собственные колебания столба жидкости.

Собственные частоты столба жидкости можно установить аналогично, как и для колебаний стержня. Если синусоидальные

своей плоскостью перпендикулярно направлению колебания. При этом рассеяние света в узлах и пучностях различное – суспензия в узлах менее прозрачная (мы наблюдаем четкие и узкие полоски алюминиевой пудры). Это позволяет измерить длину стоячей волны в жидкости, как расстояние между соседними узлами. По известной частоте ультразвука и измеренной в опыте длине стоячей волны можно определить скорость ультразвука в жидкости.

Для определения длины стоячей волны измеряют расстояние Ln, на котором укладывается n стоячих волн( обычно n = 16 – 20

Так как длина бегущей волны связана со скоростью волны u и частотой ультразвука f соотношением λ = υ ∕ f ,находим скорость

Значение модуля объѐмной упругости жидкости находят из

где ρж – плотность жидкости (ρж = (0,78 0,01) *103 кг/м3).

Скорость ультразвука в феррите и модуль его упругости можно найти., если определить основную резонансную частоту виб-

Модуль упругости феррита Е находят, пользуясь соотношени-