metodichka . физика

Моли разных газов содержат одинаковое число молекул, называемое числом Авогадро NA= 6,023-10^^ моль"'.

Величину М, равную отношению массы газа m к количеству

lyf

молей V, содержащихся в нем М = — , называют молярной мае-

V J

сой газа, поэтому

N

V =

М Д

Закон Дальтона: давление смеси газов равно сумме их парциальнных давлений:

Барометрическая формула, выражающая убывание давления га-

за с высотой h над поверхностью Земли;

Mgh

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов:

P = | n ( e ) = ^nm„(v,„ у,

где п ~ число молекул в единице объема (концентрация молекул),

=- средняя кинетическая энергия поступательного

движения одной молекулы. Для однородного по составу частиц газа

51

где гпд - масса одной частицы газа. Для смеси идеальных газов

П = til + П2 + ... + п^.

Зависимость средней кинетической энергии поступательного движения молекул от температуры

(Е„) = (3/2)кТ, где к - постоянная Больцмана, равная

к = — = 1,38-10'" Дж/К,

N A

Среднеквадратичная скорость поступательного движения молекул газа:

3RT ЗкТ

М^ т .

Наиболее вероятная скорость молекул:

Средняя арифметическая скорость поступательного движения молекул идеального газа:

8RT 8кТ

( v ) = TiM

Зависимость давления газа от концентрации п молекул и температуры Т

р = п кТ.

Числом степеней свободы i называется число независимых величин, с помощью которых может быть задано положение тела или частицы в пространстве. Для молекул одноатомного газа i - 3 (три поступательные степени свободы), двухатомного газа i = 5 (три поступательные и две вращательные степени свободы), трех- и более

52

атомных газов i = 6 (три поступательные и три вращательные степени свободы).

Средняя кинетическая энергия (поступательного и вращательного движения) молекулы

( О ^ к Т .

Среднее число столкновений, испытываемых одной молекулой за секунду,

где d - эффективный диаметр молекулы, п - концентрация молекул.

Общее число столкновений всех молекул друг с другом в единице объема за единицу времени

Средняя длина свободного пробега молекулы

Уравнение диффузии (закон Фика):

dm = - D ^ d S d t , dx

где — - градиент плотности, dm - масса, переносимая при диффуdx

ЗИН за время dt через малую площадь dS, расположенную перпендикулярно к оси ОХ, вдоль которой осуществляется перенос; D -

диффузия (коэффициент диффузии).

D = i ( v ) ( X ) .

Сила внутреннего трения в жидкости (газе), действующая на элемент поверхности слоя dS

53

dx

где г| - динамическая вязкость (коэффициент внутреннего трения)

dv

изменение скорости движения слоев на единицу длины в на-

dx

правлении нормали к поверхности слоя, р- плотность газа или жидкости.

Уравнение теплопроводности (закон Фурье): dQ = - K — d S dt,

dx

где dQ - количество теплоты, проходящей при теплопроводности за время dt через площадь dS, расположенную перпендикулярно к оси ОХ, в направлении которой осуществляется перенос тепла; К -

теплопроводность (коэффициент теплопроводности), dT/dx - градиент температуры.

Су - удельная теплоемкость газа а изохорическом процессе.

Первое начало термодинамики: количество теплоты, сообщенное системе, идет на увеличение ее внутренней энергии и совершение системой работы над окружающими телами

Q = AU + А.

Изменение внутренней энергии для идеального газа

М 2 Молярная теплоемкость измеряется количеством теплоты, необ-

ходимым для нагревания одного моля вещества на один Кельвин:

v d T ' где V = т/М - количество вещества.

54

Удельная теплоемкость измеряется количеством теплоты, необходимым для нагревания единицы массы вещества на один Кельвин, т.е.

^ m dT •

Связь между удельной и молярной теплоемкостями с = С/М.

Молярная теплоемкость идеального газа при постоянном объеме Cv = iR/2.

Молярная теплоемкость идеального газа при постоянном давлении

При элементарном изменении объема газа совершается работа dA = pdV,

В произвольном термодинамическом процессе V3

А= J р dV. V!

Работа идеального газа при изобарном процессе

A = p(V . - Vi) .

Работа идеального газа при изотермическом процессе

МV I

Уравнение Пуассона для адиабатического процесса в идеальном газе

pV ^ = const, T V = const, Т"' р = const,

где у = Ср/Суотношение молярных (или удельных) теплоемкостей газа при постоянных давлении н объеме.

Работа идеального газа при адиабатическом процессе выражается следующими формулами:

55

Коэффициент полезного действия тепловой машины

где A - работа, совершенная рабочим веш,еством в течение цикла, Qi - количество теплоты, полученное от нагревателя за это время рабочим веществом, Q2количество теплоты, отданное им при этом холодильнику, Ti и Т2 - наивысшая и наинизшая температуры рабочего вещества.

Знак равенства в формуле для г] относится только к машине, работающей по циклу Карно.

Изменение энтропии тела в любом обратимом процессе, переводящем его из состояния А в состояние В, равно

dQ

^В -

где dQ ~ элементарное количество теплоты, полученное телом при температуре Т.

Второе начало термодинамики: энтропия замкнугой системы при любых происходящих в ней процессах не уменьшается - она возрастает при необратимых процессах и остается постоянной в случае обратимых процессов, т.е

AS>0.

56

Примеры решения задач по статистической физике и термодинамике

Пример 1. Вычислить, какое число молекул кислорода содержится в сосуде объемом V = 1 л при нормальных условиях. Найти массу m кислорода в сосуде, а также массу Шо одной его молекулы. Чему равна внутренняя энергия U этого газа?

Решение: Молярная масса кислорода М=0,032 кг/моль, поэтому масса одной молекулы кислорода

т„ = М ,

где NA= 6,02-10^^ моль~' - число Авогадро. Следовательно

где N - число молекул в объеме V = 1 м ^ , то из (1) и (2) следует, что

Масса газа равна массе всех его молекул, т.е.

57

m = Nrrio,

поэтому

т = 2,7-5,32-10-Чг = 1,44г.

Внутренняя энергия заданной массы идеального газа равна

2 М

где R = 8,31 Дж/(моль К) - молярная газовая постоянная; i = 5 - число степеней свободы жесткой двухатомной молекулы кислорода. В результате вычислений получаем

Ответ: N = 2,7-10^'; m = 1,44 г; Шо = 5 , 3 2 - к г ; U = 255 Дж.

Пример 2. Плотность кислорода в сосуде р = 0,06 кг/м\ а среднеквадратичная скорость его молекул (v^^^ = 500 м/с. Найти давление

р, которое оказывает газ на стенки сосуда, а также температуру Т газа и концентрацию п его молекул.

Решение: Согласно основному уравнению молекулярнокинетической теории газов

где Шр - масса молекулы кислорода. Учтем, что р = пШо. С учетом, этого соотношения выражение (1) принимает вид:

откуда получаем следующий результат:

р = ^0,06-500^ Па = 5кПа.

Для среднеквадратичной скорости справедливо следующее соотношение:

58

ведем равенство (2) в квадрат и получим из него окончательное выражение

3R

Врезультате вычислений получаем

^^ 0,032.25-10- К = 321К. 3-8,31

Давление газа связано с концентрацией его молекул следующим

Р2 = 1 МПа. Баллоны, температура Т которых одинакова, соединены тонкой короткой трубкой с краном. Если открыть кран, то в обоих баллонах устанавливается давление р = 0,4 МПа. Каков объем V2 второго баллона?

59

Гсшение: Обозначим V] - количество газа в первом баллоне, а Vj - количество газа во втором баллоне до открытия крана. Из уравнения состояния идеального газа

После открытия крана общее количество вещества v будет попреж11ему равным

При этом парциальные давления указанных порций газа станут согласно (1) равными

„ ' - M l Г.)

Поскольку температура Т остается неизменной, то для решения задачи мы можем воспользоваться законом Дальтона, согласно которому в соответствии с (2)-(5)

Заменив в равенстве (6) согласно с (4) V, = V - V;, получаем равенство, из которого выражаем искомую величину, а именно

Р2-Р

После численных, расчетов получаем:

Ответ: V, = 5 л.

60