13. Метод Гаусса.

1. приводим матрицу к трапециевидному виду.

2. если rA=rÃ, то система имеет решение -- прямой ход

3. составляем систему, не возвращаясь к первоначальной матрице

4. решаем систему (через с)—обратный ход

14. Метод Жордано-Гаусса

При решении системы по методу Ж-Г проводят преобразование строк, аналогично методу Гаусса, но при этом нули делают не только ниже разреш. элем., но и выше. Если хотя бы один из свободных членов не =0, то система не имеет решения.

14.Скалярное произведение векторов. Ортонормированные базисы.

(a,b)= a b cos (a^b)

Свойства скалярного произведения:

1. a (b+c)= (a,b)+(a,c) a = x²+y²+z²

2. x₁x₂+ y₁y₂ + z₁z₂

   x₁²+y₁²+z₁² x₂²+y₂²+z₂²

   (a,b)= (b,a)

3. (α a,b)= (a, αb)= α (a,b)

4. (a,b)

   a b

   (a,a)= a² cos (a^b)=

5. cos (a^b)=

6. (a,a) ≥0

7. (a,a) =0  a=0 а

l

e

пр_lа= a cos (a^ l); l—вектор, задающий направление прямой l

e= -- вектор единичной длины

(a,l)

l

пр_l а= (a,l)=

Ортонормированный базис—три взаимноперпендикул. вектора единичной длины. Если отложить три этих вектора от одной точки О, то получ. прямоугольная (декартовая) система координат пространства.

15. Векторное произведение векторов.

Тройка векторов u, v, w назывю правой, если поворот от 1-го вектора ко 2-ому проходит против часовой стрелки, если смотреть с конца 3-его вектора.

Векторное произведение:

1. [a,b]= a b sin(a^b)

2. [a,b] a; [a,b] b

3. (a, b, [a,b]) – правая тройка

4. Длина вектора векторного произведения численно равна S паралелограмма, построенного на векторах а и b

5. [a,b] = 0, если a b

6. Векторы [a,b] и [b,a] направлены в разные стороны : [a,b] = - [b,a]

7. I j k

   x₁ y₁ z₁

   x₂ y₂ z₂

   [a, αb+ βc]= α [a,b]+ β [a,c]

[a,b] =

Если векторы лежат на параллельных прямых, они коллинеарные

Если три вектора параллельны одной плоскости, они компланарные

16. Смешанное произведение векторов.

1. (a,b,c)—численно равно V параллелепипеда, построенного на векторах a,b,c, взятого со знаком +, если тройка правая, и со знаком -, если левая: V=S осн. h; S осн= [a,b]; h= c cos α;

V= [a,b] c cos α= (a,b,c)

2. (a,b,c) =0  a,b,c—компланарны

3. (a,b,c)= - (b,a,c)= (b,c,a)

x₁ y₁ z₁

x₂ y₂ z₂

x₃ y₃ z₃

Vпир. 3

Sтреуг.

(a,b,c)= Vпирамиды= 1/6 Vпараллелепипеда; h=

17. Уравн. Плоскости по точке и вектору нормали. Общее уравн. Плоскости.

(r-r₀, n) =0—векторное уравнение плоскости

A(x-x₀) +B(y-y₀) +C (z-z₀)=0—уравнение плоскости, проходящей через точку М₀ (x₀, y₀, z₀), перпендикул. вектору n(A,B,C)

Ax+By+ Cz+D=0—общее уравнение плоскости; n(A,B,C)—нормаль

x-x₁ y-y₁ z-z₁

x₂-x₁ y₂-y₁ z₂-z₁ =0

x₃-x₁ y₃-y₁ z₃-z₁

-- уравнение плоскости по трем точкам