![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Министерство образования Республики Беларусь
- •Контрольная работа № 6.
- •Задание 6.11.
- •Задание 6.12.
- •Задание 6.13.
- •Задание 6.14.
- •Задание 6.15.
- •Контрольная работа № 7.
- •Задание 7.1.
- •Задание 7.2.
- •Задание 7.3.
- •Задание 7.4.
- •Задание 7.5.
- •Задание 7.6.
- •Задание 7.7.
- •Задание 7.8.
- •Задание 7.9.
- •Контрольная работа №8
- •Задание 8.1.
- •Задание 8.2.
- •Задание 8.3.
- •Задание 8.4.
- •Решение типового варианта
- •Задание 5.9. Найти общее решение:
- •Задание 5.10. Методом исключения найти общее решение системы:
- •Задание 5.11. А) Методом характеристического уравнения найти общее решение системы:
- •Решение типового варианта контрольной работы n6.
- •Решение типового варианта контрольной работы № 7
- •Решение типового варианта контрольной работы №8. Задача 8.1.
- •Задача 8.2.
- •Задача 8.3.
- •Задание 8.4.
- •С о д е р ж а н и е
- •Учебное издание
Решение типового варианта
контрольной работы №5
Задание 5.1. Найти общее решение:
.
Преобразуем данное уравнение:
.
Это уравнение с разделяющимися
переменными. Разделим переменные
Интегрируем обе части неравенства:
Последнее равенство является общим интегралом исходного уравнения.
Задание 5.2. Найти общее решение:
.
Так как функции
и
— однородные второго измерения
то данное уравнение — однородное.
Сделаем замену:
где
—
новая неизвестная функция.
.
Тогда:
,
.
Далее имеем:
,
.
Это уравнение с разделяющимися переменными. Решаем его:
.
В последнее выражение вместо
подставим
значение
.
Получим общий интеграл:
Выразив отсюда
,
найдём общее решение исходного уравнения
:
.
Задание 5.3. Найти общее решение:
.
Это линейное неоднородное уравнение. Рассмотрим однородное:
.
Решим его:
,
,
По методу Лагранжа общее решение
линейного неоднородного уравнения ищем
в виде
,где
— неизвестная функция.
Подставим это выражение в исходное уравнение:
.
Получим простейшее дифференциальное уравнение 1-ого порядка:
,
,
.
Окончательно, общее решение нашего уравнения имеет вид :
.
Задание 5.4. Найти общее решение:
Введём обозначения:
Так как;
,
а следовательно
,
то уравнение является уравнением в
полных дифференциалах, а его левая часть
есть полный дифференциал
,
причем
Далее:
;
т.е.
,
,
а,
.
Общий интеграл исходного уравнения имеет вид U (x, y)=C или
.
Задание 5.5. Найти общее решение:
Это уравнение 2-ого порядка, не содержащее
искомой функции
.
Оно допускает понижение порядка уравнения
заменой
,
.
После замены исходное уравнение превращается в однородное уравнение первого порядка:
.
Делаем подстановку:
,
.
Тогда
.
Разделяем переменные:
,
,
;
.
.
Так как
,
то
Находим:
.
Общее решение уравнения имеет вид:
.
Задание 5.6. Найти общее решение:
Это уравнение второго порядка, не
содержащее независимой переменной
.
Оно допускает понижение порядка уравнения
заменой:
,
После замены, исходное уравнение преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными:
Решаем это уравнение:
,
Так как
,
то
.
Снова получили уравнение с разделяющимися переменными, поэтому
,
.
Значит,
—
общее решение нашего уравнения.
Задание 5.7. Решить задачу Коши:
,
,
,
Составляем характеристическое уравнение и решаем его:
,
,
,
,
.
Общее решение исходного уравнения имеет вид:
.
Находим:
.
Используем начальные условия
Решаем систему:
,
,
,
.
Решение задачи Коши имеет вид:
.
Задание 5.8. Найти общее решение:
.
Находим корни характеристического уравнения:
Следовательно общее решение однородного уравнения имеет вид
(;
—
фундаментальная система решений):
.
Правая часть уравнения представляет
собой сумму функций
и
.
Для нахождения частных решений, соответствующих этим функциям составляем:
для
S=1 (кратность числа
среди корней характеристического
уравнения)
;
для
:
(кратность числа
среди корней характеристического
уравнения).
т.е.
—
частное решение нелинейного уравнения
с неизвестными коэффициентами.
Подставляем
в исходное уравнение:
Для выполнения тождества необходимо равенство коэффициентов:
Поэтому:
Таким образом, частное решение исходного уравнения имеет вид:
,
а его общее решение: