Программа Ряды

Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Действия над рядами. Необходимое условие сходимости.

Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами.

Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница.

Функциональные ряды. Область сходимости. Равномерная сходимость. Признак Вейерштрасса.

Степенные ряды. Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости степенного ряда.

Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение функций в степенные ряды.

Применение рядов к приближенным вычислениям.

Ряды Фурье по тригонометрическим системам. Разложение функций в ряды Фурье. Условия поточечной сходимости и сходимости в среднем. Применение рядов Фурье.

IИнтегральное исчисление функций нескольких переменных

Определенный интеграл по фигуре, его механический смысл. Свойства интегралов по фигуре.

Вычисление кратных интегралов повторным интегрированием.

Замена переменных в кратных интегралах.

Вычисление криволинейных и поверхностных интегралов I и II рода, их приложения. Формулы Грина, Стокса, Остроградского-Гаусса.

Элементы операционного исчисления

Преобразование Лапласа. Теорема существования и единственности. Класс оригиналов и класс изображений.

Основные теоремы операционного исчисления.

Определение оригинала по изображению с помощью таблиц и второй теоремы разложения.

Решение линейных дифференциальных уравнений и систем операционным методом.

1. Ряды

1.1. Числовые ряды. Основные определения. Признаки сравнения

Выражение , (1) где () – последовательность чисел, называется числовым рядом, числа – членами ряда, – общим членом ряда.

Суммы (2) называются частичными суммами ряда (1).

Если существует конечный предел

,

то ряд (1) называется сходящимся, а число S - его суммой. Если же не существует или =, то ряд называется расходящимся.

Если в ряде отбросить первые k членов, то получится ряд r_k=, (3) называемый k-м остатком ряда (1).

Необходимый признак сходимости. Если ряд (1) сходится, то

. (4)

Следствие. Если , то ряд (1) расходится.

Ряд называется гармоническим рядом. Для него , но ряд расходится.

Признаки сравнения. Рассмотрим числовые ряды с неотрицательными членами

; (4)

. (5)

Теорема 1. Признак сравнения. Если, начиная с некоторого номера, выполняются неравенства , то из сходимости ряда (5) следует сходимость ряда (4), а из расходимости ряда (4) следует расходимость ряда (5).

Теорема 2. Предельный признак сравнения. Если для всех и существует конечный предел , то ряды (4) и (5) сходятся или расходятся одновременно.

Замечание. При использовании признаков сравнения часто применяется ряд , сходящийся при p >1 и расходящийся при p 1 и ряд , сходящийся при и расходящийся при .

Примеры. Исследовать на сходимость ряды и в случае сходимости найти сумму ряда.

1. . Решение. Данный ряд - геометрическая прогрессия со знаменателем . Следовательно,,, ряд сходится.

1. . Решение. Так как дробь представима в виде , то частичная сумма ряда имеетвид: Следовательно, , ряд сходится и его сумма равна 1/4.

2. 2 + 5 + 8 + 11 + ... . Решение. Данный ряд - сумма членов арифметической прогрессии с разностью d = 3, поэтому ряд расходится.

Проверить, выполняется ли необходимый признак сходимости ряда. В случае выполнения установить, сходится ли ряд с помощью признака сравнения.

4. . Решение. , т.е. необходимый признак не выполняется, ряд расходится.

5. . Решение. , т.е. необходимый признак выполняется. Исследуем сходимость данного ряда с помощью признака сравнения (теорема 1). Рассмотрим расходящийся ряд . Так как, то исходный ряд расходится.

6. . Решение. . Рассмотрим сходящийся ряд - сумму членов геометрической прогрессии со знаменателем . Так как, то по теореме 1 исходный ряд сходится.

7. . Решение. . Рассмотрим сходящийся ряд и применим предельный признак сравнения (теорема 2): . Следовательно, данный ряд сходится.