3.2. Классификация по одному признаку с разным количеством наблюдений

3.2.1. Равное число наблюдений

Рассмотрим некоторый фактор, который принимает рразличных уровней, и предположим, что выполненоnна­блю­дений на каждом уровне. Тогда име­ем таб­лицух_ij(i = =1, 2, ..., p; j = 1, 2, ..., n). Будем полагать, что для каждого уров­няnсредняя равна общей средней. Тогда можно за­пи­сать следующее равенство:

x_ij = m + F_i + e_ij ,(6.3)

где m- общая средняя,F_i - эффект, обусловленныйi-ым уров­­нем фактора,e_ij- ва­риация результатов внутри от­дель­но­го фактора. При помощи последнего чле­на при­ни­ма­ют­ся в расчет все неконтролируемые факторы.

Будем предполагать, что наблюдения на фик­си­ро­ван­ном уровне фактора рас­пределены нормально от­но­си­тель­но среднего значения m + F_i с общей дис­персиейs². Вве­дем обозначение, в котором точка вместо ин­дек­са будет обо­з­начать усреднение по этому индексу. Тог­да можно бу­дет записать

x_ij - x_.. = (x_{i .} - x_.. ) + (x_ij - x_{i .}).

Возведя обе части этого равенства в квадрат и при­ве­дя подобные, по­лу­чим следующее выражение:

(6.4)

Таблица 6.6

Источник изменчивости	Суммы квадратов	Степени свободы	Средние квадраты	Отношение
Различия между уровнями		p - 1
Различия внутри уровней		N - p
Сумма		N-1		Fa

или кратко S = S₁ + S₂, гдеS₁ показывает различия меж­ду уровнями и вы­чис­ля­ется исходя из отклоненийр сред­­них для независимых классов от общего сред­него и, сле­до­ва­тель­но, имеет (р - 1) степеней свободы;S₂ - оп­ре­деляет раз­ли­­чия внутри уровней и вычисляется по от­кло­нениямNна­блю­дений отрвы­бо­рочных средних и, сле­довательно, име­етр (n - 1) степеней свободы. А са­моSимеетN - 1 сте­пе­ней свободы. И если теперь под­ста­витьx_ij из уравнения (6.3) в выражение (6.4), то пос­ле пре­­об­разований можно ви­­деть, чтоS₂ - есть не­сме­щен­ная оценкар (n - 1) s² раз­ли­чий внутри уровней, в то вре­мя какS₁ имеет смысл не­сме­щен­ной оцен­киразличий меж­ду уровнями. В слу­чае спра­ведливости гипотезы, согласно которой влияние всех уров­ней одинаково, отношение вто­рой оцен­ки к пер­вой должно быть сравнимо сF-рас­пре­де­ле­ни­ем с (р - 1) и (N - p) степенями свободы. Если вы­чис­лен­­ное значение больше табличного, то ги­потеза ложна при указанном уровне значимости, т.е. различия не­су­щес­т­вен­ны.

Результаты удобно оформлять в таблицу.

В табл. 6.6 приведены удобные расчетные формулы для вы­ч­исления не­об­ходимых параметров ряда, ко­то­ры­ми мож­но пользоваться в практических рас­четах. По­следний стол­бец заполняется так: первая строка - рас­считанное зна­че­ние М₁/М₂, вторая - табличный кри­те­рий Фишера, най­ден­ный по соответствующей таб­ли­це для указанных сте­пе­ней свободы, в третью стро­­ку впи­сывается результат: при­ни­мается или нет ги­по­теза.