4.8. Корректировка обратной матрицы после изменения одного элемента в прямой матрице

Пусть дана матрица A = M ^-1 размерностью [n´n] и мат­ри­ца M', полученная в результате уве­­ли­чения эле­мен­та m[i,j] матрицы M на величину d. Тогда скор­рек­ти­рованная мат­ри­ца B = (M') ^-1 мо­жет быть эффективно вы­­числена по эле­мен­там мат­рицы A без обращения мат­рицы M при по­мо­щи пред­­став­лен­ной процедуры adjust.

Формальные параметры про­цедуры. Входные: a[n,n] - (тип real) - исходная матрица A; n (тип in­te­ger) - по­ря­док мат­рицы A; i, j (тип in­­te­ger) - ин­дек­сы измененного эле­мен­та m[i, j] мат­ри­цы M; d (тип real) - величина из­ме­нения эле­­мен­та m[i, j]. Вы­ходные: b[n, n] (тип real) - скор­рек­ти­ро­ванная мат­рица B.

procedure adjust (a:mas1;n,i,j: integer;

d:real; var b:mas1);

var t : real; r,s : integer;

begin t:=d/(a[j,i]*d+1);

for r:=1 to n do

for s:=1 to n do

b[r,s]:=a[r,s]-t*a[r,i]*a[j,s]

end {adjust};

Процедура adjust представляет собой перевод на язык PASCAL опубликованной в работе [Агеев и др., 1976], ис­правленной, сокращенной и ор­ди­нар­­но пе­ре­ра­бо­­танной про­цедуры, опубликованной в работе [Herndon, 1961]. Тес­ти­ро­ва­ние про­цедуры adjust было вы­пол­не­но на IBM PC/AT-286 для следующих ис­ход­ных дан­ных:

, n = 2, i = 1, j = 2, d = 3.

Результат корректировки

с точностью до ошибок округления совпал с точ­ным решением

.

Замечание. Интересно, что исходной ал­го­ритм [Hern­don, 1961] проверялся дополнительно Р. Георгом (1962) для мат­риц порядка n = 2, 3, ..., 10 при про­из­воль­­­ных зна­че­ни­ях i, j и случайных при­­ращениях эле­мен­­­та m[i, j] прямой мат­рицы M: -1.0 < d << 1.0. По ре­зультатам корректировки рас­счи­ты­ва­лось про­из­ве­де­ние C = B*M ' и вы­чис­ля­лась по­греш­­ность каждого опы­­та по фор­му­ле

,

при этом во всех произведенных опытах зна­че­ние  не превышало 2e-8.

4.9. Матрица причинно-следственных отношений

Задача построения матрицы причинно-след­ст­вен­­ных связей возникает при исследовании се­те­вых диаграмм и в этом смысле стоит несколько осо­б­няком в ряду рас­смат­ри­ва­емого в настоящем параграфе алгебры матриц. Тем не менее всле­д­­с­т­вие того, что данный логический ал­го­ритм, суть которого описана в этом пункте, оперирует с мат­рич­ны­ми объектами, мы посчитали це­ле­со­об­раз­ным рас­смот­реть его именно здесь.

Пусть задана матрица M размером n´n, в ко­­торой каж­дый элемент m_ij = true, если ин­ди­ви­ду­ум i является не­по­сред­ственной причиной ("ро­ди­те­­лем") индивидуума j, в про­­ти­в­ном слу­чае m_ij = false. Тогда, если существует по­сле­до­ва­тель­ность чисел k, l, ..., p такая, что в матрице M все m_ik, m_kl, ..., m_pj эквивалентны true, т.е. если ин­ди­ви­ду­ум i яв­­ляется косвенной причиной ("пра­ро­ди­те­лем") ин­ди­ви­ду­у­ма j, то элементы пре­об­ра­зо­ван­ной мат­ри­цы M - m_{ij =} true.

Данный алгоритм реализован в процедуре ances.

Формальные параметры про­цедуры. Входные: m[1:n, 1:n] (тип boolean) - исходная мат­рица M; n (тип in­te­­ger) - порядок матрицы M. Вы­ходные: m [1:n, 1:n] (тип bo­o­­lean) - пре­образованная матрица M.

procedure ances (n:integer;

var m : array [1..n,1..n] of boolean);

var i, j, k : integer;

begin

for i:=1 to n do

for j:=1 to n do

if m[j,i] then

for k:=1 to n do

if m[i,k] then m[j,k]:=true

end {ances};

Процедура ances является переводом с языка ALGOL на язык PASCAL стереотипного пе­ре­из­да­ния [Аге­ев и др., 1976] ординарно пе­ре­ра­бо­тан­но­го ал­горитма Р.Б. Флойда (1962). Тестирование про­цедуры проводилось на IBM PC/AT-286 для тех же исходных матриц, что и в работе Х.Ц.Тачера (1963), в которой он под­твер­дил эф­фек­тив­ность алгоритма Р.Б. Флойда (1962). Нами при тес­ти­ро­ва­нии были получены ре­зуль­таты, совпадающие с ре­зуль­та­та­ми работы [Thacher, 1963]:

1) при n = 5

;

2) при n = 9

Правильность этих результатов, как указано в ра­боте [Thacher, 1963], была убедительно под­твер­ж­де­на при ис­сле­до­ва­нии сетевых диаграмм.

1 Матем.сб., 1937, N2, с.169-171.

1 Процедура Simult яв­ля­ется результатом существенной переработки ал­­­го­ритма, впервые опубликованного в работе [Roek,1962], с целью со­кра­щения его за­пи­си и оп­ти­ми­за­ции по рас­хо­ду­е­мой памяти и времени вы­­пол­не­ния.

1 Процедура Cram является пе­ре­ра­бот­кой алгоритма [Caffrey, 1961] с целью его упро­ще­ния и модификации.

55