4.3. Вычисление собственных векторов и собственных значений симметрической матрицы методом якоби

Всякая симметричная матрица A может быть за­­писана в виде

A = V^*DV, (1.43)

где V^*- ортогональная матрица; D - ди­а­го­наль­ная с эле­мен­тами ___m - собственными зна­че­ни­я­­ми мат­ри­цы A. После умножения (1.43) слева на V^* получим AV^* = V^*D, и ес­­ли рас­писать это матричное ра­венство по стол­б­цам, то ока­жет­ся, что каждый i-й столбец мат­ри­цы V^* является соб­ст­венным век­тором, от­ве­ча­ю­щим соб­ст­вен­ному зна­че­нию _i [Ба­х­валов, 1973а]. Пре­­об­­разуя сис­те­му (1.43) к ви­­ду

VAV^*= D,

по­стро­им по­сле­до­ва­­тель­ность ор­то­го­наль­ных мат­риц V_1, ...., V_n так, чтобы при W_n=V_n...V_, иметь W_n AW_n^* D. Если теперь обо­значить че­­­рез V_kl( мат­ри­цу с эле­мен­­та­ми v_kk = v_ll = cos v_kl = -v_lk = sin v_ii = 1 при i k, i, v_ij = 0 при ос­таль­ных (i, j), то она будет ортогональной.

Построим последовательность матриц V_n и a⁽ⁿ⁾ = по следующему правилу:

А⁽¹⁾ = V_ A V_^* , ..., A⁽ⁿ⁾ = V _nA^(n-1) V_n^* . (1.44)

Матрица

строится в зависимости от матрицы A⁽ⁿ⁾ так, что­бы вы­пол­ня­лось неравенство [Бахвалов, 1973а]

. (1.45)

Выражая каждую матрицу A⁽ⁿ⁾ через пре­ды­ду­щую, бу­дем строить итерационную по­сле­до­ва­тель­ность A⁽ⁿ⁾ = WAW_n^*. Согласно оцен­ке (1.45), имеем

.

Пусть матрица D⁽ⁿ⁾ получена из A⁽ⁿ⁾ простой за­меной всех недиагональных элементов на нули. Тогда не­труд­но доказать [Бахвалов, 1973а], что

, (1.46)

откуда вытекает |_n⁽ⁿ⁾ - _n| £ _n при всех n, где_i - соб­ст­вен­ные значения матрицы A⁽ⁿ⁾ (значит, и мат­рицы A), за­­ну­ме­ро­ванные в порядке убы­ва­ния, а _n⁽ⁿ⁾- соб­ствен­ные зна­че­ния матрицы D⁽ⁿ⁾, т.е. ее диагональные эле­мен­ты, также за­ну­­ме­ро­ван­ные в порядке убывания; r_n - верх­няя оцен­ка по­греш­ности.

Столбцы матрицы W⁽ⁿ⁾ оказываются при­бли­же­ни­я­ми к собственным векторам матрицы A⁽ⁿ⁾. Все столбцы про­изведения матриц V(_kl) и A_kl, кро­ме k-го и первого, сов­па­дают с соответствующими столб­цами матрицы A⁽ⁿ⁾, k-й и первый столбцы но­вой матрицы яв­ля­ют­ся линейными ком­­би­на­ци­я­ми этих же столбцов мат­рицы A. Та­кого же ко­л­и­чес­т­­ва дейс­твий по­тре­бу­ет дальнейшее умно­жение на мат­­рицу V^*(_kl) в со­от­вет­ствии с фор­му­ла­ми (1.44), ког­да про­ис­хо­дит из­ме­не­ние k-й и пер­вой строк.

Общее количество арифметических операций для по­­лу­­че­ния каждой последующей матрицы A⁽ⁿ⁾ со­с­та­вит при этом ~ 6n.

Рассмотренный алгоритм (с некоторой мо­ди­фи­ка­ци­ей, предложенной в работе [Greenstadt, 1961]) ре­­а­ли­зо­ван в про­­це­дуре eigjac, используя которую можно вы­чис­лить все собственные зна­че­ния и соб­ствен­ные век­то­ры за­дан­­ной сим­мет­рич­ной матрицы a[1:n, 1:n]. На вы­хо­­де из про­це­­ду­ры l-й столбец мат­рицы S (на­чаль­ное зна­че­ние мас­си­ва S не­су­щест­венно) со­дер­жит первый из n соб­­­ст­­вен­ных век­­­то­ров дан­ной мат­рицы, ди­а­го­наль­ный эле­мент a[l, l] мас­­сива A со­­от­вет­ст­вует первому соб­­ст­вен­ному зна­­­че­нию. Ите­­ра­ци­онный процесс за­­ка­н­чи­ва­ет­ся, ког­да для каж­дого не­­­ди­а­го­наль­но­­го элемента a[i, j] вы­пол­ня­­ется не­ра­вен­ст­во

,

где параметр  связанный с оценкой по­греш­нос­ти r_n в фор­му­ле (1.46) и введенный вместо r_n для оценки ка­чес­т­ва ре­ше­­ния в работе [Gre­en­stadt, 1961], и есть за­да­ва­емая точ­ность.

Формальные параметры про­цедуры. Входные: n (тип in­teger) - порядок матрицы A; eps (тип real) - за­да­­ваемая точ­­­ность; a[1:n,1:n] (тип real) - ис­ход­ная сим­­метричная мат­­­рица. Вы­ход­ные: a[1:n, 1:n] (тип re­al) - матрица, ди­а­го­наль­­ные элементы ко­то­­рой a[i, i] яв­ляются со­от­вет­ст­вен­но _-ми соб­ст­вен­ны­ми зна­че­­ни­­я­ми; s[1:n, 1:n] (тип re­al) - мат­­ри­ца, k-й столбец ко­­то­рой содержит k-й из n соб­ст­вен­ных векторов ис­ход­­ной матрицы A.

procedure eigjac (n:integer;eps:real;

var a, s:mas1);

var norm1,norm2,thr,mu,omega,sint,cost,

int1,v1, v2,v3,t : real;

i,j,p,q,ind : integer;

label main, main1;

begin

{ *** формирование в массиве s

единичной матрицы *** }

for i:=1 to n do

for j:=1 to i do

if i=j then

s[i,j]:=1

else

begin

s[i,j]:=0;

s[j,i]:=0;

end;

{ *** вычисление начальной нормы norm1,

конечной нормы norm2 и порога thr *** };

int1:=0;

for i:=2 to n do

for j:=1 to i-1 do

int1:=int1+2*a[i,j]*a[i,j];

if int1=0 then

exit;

norm1:=sqrt(int1);

thr:=sqrt(int1);

norm2:=(eps/n)*norm1;

ind:=0;

main:

thr:=thr/n;

{**начало обработки недиагональных элементов**};

main1:

for q:=2 to n do

for p:=1 to q-1 do

if abs(a[p,q]) >= thr then

begin

ind:=1;

v1:=a[p,p];

v2:=a[p,q];

v3:=a[q,q];

mu:=0.5*(v1-v3);

if mu=0 then

omega:=-1

else

omega:=-sign(mu)*

v2/sqrt(v2*v2+mu*mu);

sint:=omega/sqrt(2*(1+

sqrt(1-omega*omega));

cost:=sqrt(1-sint*sint);

for i:=1 to n do

begin

if i<>p AND i<>q then

begin

int1:=a[i,p];

mu:=a[i,q];

a[q,i]:=int1*sint+mu*cost;

a[i,q]:=int1*sint+mu*cost;

a[p,i]:=int1*cost-mu*sint;

a[i,p]:=int1*cost-mu*sint;

end;

int1:=s[i,p];

mu:=s[i,q];

s[i,q]:=int1*sint+mu*cost;

s[i,p]:=int1*cost-mu*sint

end {***i***};

mu:=sint*sint;

omega:=cost*cost;

int1:=sint*cost;

t:=2*v2*int1;

a[p,p]:=v1*omega+v3*mu-t;

a[p,p]:=v1*mu+v3*omega+t;

a[p,q]:=(v1-v3)*int1+v2*(omega-mu);

a[q,p]:=(v1-v3)*int1+v2*(omega-mu);

end ;

{***проверка достижения заданной

точности***};

if ind=1 then

begin

ind:=0;

go to main1

end;

if thr > norm2 then go to main;

end.

Процедура eigjac получена из процедуры jacobi [Агеев, 1976] переводом последней с языка AL­G­OL на язык PAS­CAL, при этом было сделано не­сколь­ко тож­дественных пре­образований, оп­ти­ми­зи­ру­ю­щих зат­раты машинного вре­мени. Про­­це­­­ду­ра eig­jac бы­ла про­­ве­ре­на для тех же ис­­ход­ных данных, что и про­цедура jacobi [Агеев, 1976]: n = 4, eps=10^-8 и

.

Вычисления, выполненные на IBM PC/AT-386 с час­то­той 40 МГц, дали следующие результаты, которые сов­падают с ре­зуль­та­та­ми тес­ти­рования

_;

,

при­ве­денными в ра­бо­­те Агеева [Аге­ев и др., 1976], и име­ют мак­си­маль­ную по­греш­ность по от­но­ше­нию к соб­ст­вен­ным зна­че­ни­ям _iи собственным век­­­то­рам X ис­­ход­ной мат­рицы [в сравнении с их ве­­­ли­чи­на­ми из ра­бо­­ты Фадеева и др. (1963) ] max r_i = 4*10^-8, maxS_i = 3*10^-6.