5. 1.1. Оценивание функции распределения и плотности вероятности случайного процесса

Известно [4, 5], что оценкой вероятности какого-либо события может служить частота, с которой это событие наблюдается в серии независимых экспериментов. Как следствие,оценкой функции распределенияслучайного процесса F_ξ(x) для произвольного аргументаможет служить частота наблюдения в зарегистрированной выборкеx_kотсчетов, не превышающих

=, (1.1)

где - количество отсчетов выборки, для которых выполняется неравенство, N – общий объем выборки x_k.

Предложить качественную оценку плотности распределения вероятностей СП сложнее, так как определение этой характеристики предполагает, как промежуточный этап, оценку вероятности попадания значений СП вбесконечно малый контрольный интервал значений. Вместе с тем, из-за ограниченного объема выборкиx_kкачественная оценка такой вероятности невозможна. По этой причине от строгого соответствия определению при оценке плотности вероятности приходится отказываться и вместо, характеризующей бесконечно малую окрестность точки, рассчитывать лишь вероятности попадания значений СП в некоторый относительно широкий диапазон значений.

Итак, при практических исследованиях аналогом плотности распределения вероятностей выступает гистограмма , для построения которой:

1. в диапазоне возможных значений СП выбирают (относительно произвольно) ряд контрольных уровней, разбивая тем самым ось значений СП на ряд смежных участков-колодцев с номерами 0 ≤ j ≤ J, где 0-й колодец соответствует интервалу (-;], колодец с номером J – интервалу [;+), а j-й по счету колодец занимает участок отдо;

2. определяют для каждого колодца количество попавших в него (т.е. удовлетворяющих неравенству≤x_k≤) отсчетов зарегистрированной выборки процесса(t);

3. рассчитывают безразмерные частоты попадания отсчетов процесса в разные колодцы гистограммы

=. (1.2)

Пример подобной гистограммы, полученной при исследованиях нормального шума, показан на рис. 1.1. Обратите внимание, во-первых, что получаемые в соответствии с (1.2) значения даже по единицам измерения отличаются от плотности вероятности (Плотность вероятности измеряется в величинах, обратных единицам измерения СП). Во-вторых, полу-

Рис. 1.1. Гистограмма плотности распределения вероятностей СП

чаемая по описанному правилу "столбчатая" зависимость не позволяет контролировать изменения плотности вероятности внутри границ отдельного колодца. Т.е. при построении гистограммы неявно предполагается, что изменения W_ξ(x) в пределах колодца малы, что лишь приближенно соответствует действительности. Тем не менее, главную задачу плотности вероятности подобная оценка выполняет, достаточно наглядно отображая те части всего диапазона потенциально возможных значений, в которые реализации СП попадают наиболее часто.

6. 1.2. Оценивание числовых и энергетических характеристик случайных процессов

Оценки математического ожидания, дисперсии и корреляционной функции находятся по следующим соотношениям:

(1.3)

(1.4)

(1.5)

где x_k - значение k-го отсчета наблюдаемой реализации случайного процесса(t); T - интервал дискретизации процесса.

По аналогии с (1.3) определяется ковариационная функция

(1.6)

При отсутствии постоянной составляющей (1.5) и (1.6) совпадают. С увеличением объема выборки (N) указанные оценки стремятся к истинным значениям, то есть являются несмещенными и состоятельными[4, 5].

Оценку спектральной плотности мощности можно получить из (1.5) путем дискретного преобразования Фурье корреляционной функции, а можно вычислить по имеющейся реализации непосредственно

, (1.7)

где n - номер рассчитываемой составляющей спектра; f₁ - интервал используемой дискретной сетки частот равный f₁= 1 / N·T.