Булева алгебра
Булевой алгеброй
называется
непустое множество A с
двумя бинарными
операциями 
(аналог конъюнкции), 
(аналог дизъюнкции), унарной
операцией 
(аналог отрицания)
и двумя выделенными элементами: 0 (или
Ложь) и 1 (или Истина).
Следующие соотношения могут быть проверены прямым сравнением значений функций в левой и правой части соотношения на всевозможных наборах аргументов.
-
x ∧ y = y ∧ x
-
x y = y x
-
x y = y x
-
x ∧ (y ∧ z) = (x ∧ y) ∧ z
-
x (y z) = (x y) z
-
x (y z) = (x y) z
-
x (y ∧ z) = (x y) ∧ (x z)
-
x ∧ (y z) = (x ∧ y) (x ∧ z)
-
¬¬x = x
-
¬(x ∧ y) = ¬x ¬y
-
¬(x y) = ¬x ∧ ¬y
-
x ∧ x = x
-
x ∧ ¬x = 0
-
x ∧ 0 = 0
-
x ∧ 1 = x
-
x x = x
-
x ¬x = 1
-
x 0 = x
-
x 1 = 1
-
x y = (x ∧ ¬y) (¬x ∧ y)
-
x y = ¬x y
-
x y = (x ∧ y) (¬x ∧ ¬y)
Булева функция
Булева функция от n аргументов — в дискретной математике — отображение Bn → B, где B = {0,1} — булево множество.
Булева функция задаётся конечным набором значений, что позволяет представить её в виде таблицы истинности, например:
|
x1 |
x2 |
… |
xn-1 |
xn |
f(x1,x2,…,xn) |
|
0 |
0 |
… |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
… |
0 |
1 |
0 |
|
0 |
0 |
… |
1 |
0 |
1 |
|
0 |
0 |
… |
1 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
… |
0 |
0 |
1 |
|
1 |
1 |
… |
0 |
1 |
0 |
|
1 |
1 |
… |
1 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
… |
1 |
1 |
0 |
Конъюнкти́вная норма́льная фо́рма (КНФ) в булевой логике — нормальная форма, в которой булева формула имеет вид конъюнкции дизъюнкций литералов.
Совершенная конъюнктивная нормальная форма (СКНФ) — это такая КНФ, которая удовлетворяет трём условиям:
-
в ней нет одинаковых элементарных дизъюнкций
-
в каждой дизъюнкции нет одинаковых пропозициональных переменных
-
каждая элементарная дизъюнкция содержит каждую пропозициональную букву из входящих в данную КНФ пропозициональных букв.
Дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ) в булевой логике — нормальная форма, в которой булева формула имеет вид дизъюнкции конъюнкций литералов.
Совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ) — это такая ДНФ, которая удовлетворяет трём условиям:
-
в ней нет одинаковых элементарных конъюнкций
-
в каждой конъюнкции нет одинаковых пропозициональных букв
-
каждая элементарная конъюнкция содержит каждую пропозициональную букву из входящих в данную ДНФ пропозициональных букв, причём в одинаковом порядке.
Для любой функции алгебры логики существует своя СДНФ, причём единственная.