ГОУВПО «Воронежский государственный технический университет» Факультет энергетики и систем управления Кафедра высшей математики и физико-математического моделирования

Курсовая работа

по дисциплине дискретная математика на тему:

«Пульт телеуправления подвижным объектом»

Выполнил: студент гр. АТР-131 Елфимов А.В.

Принял: доц. Купцов В. С.

Воронеж 2013 г.

Содержание

Условие задачи…………………………………………………………………………….3

Теоретические сведения…………………………………………………………………..5

Практическая часть……………………………………..................................…………..13

Заключение……………………………………………………………………………….??

Список литературы………………………………………………………………………??

Условие задачи

П

A

B

C

ульт телеуправления подвижным объектом предусматривает подачу команд: "Вперёд", "Назад", "Вправо", "Влево", "Стоп" тремя одновременно работающими независимыми операторами. Разработать схему, обеспечивающую прохождение любой из этих команд только тогда, когда она подана по крайней мере двумя операторами.

В

Л П

Н

Список переменных

A,B,C - операторы, подающие команды. Направления движения объекта: В - вперёд

Н - назад

Л - влево

П - вправо

С - стоп

Теоретическое введение

Булева алгебра — частично упорядоченное множество специального вида; дистрибутивная решётка, имеющая наибольший элемент 1 — единицу булевой алгебры, наименьший элемент 0 — нуль булевой алгебры, и содержащая единственное дополнение каждого своего элемента \ x — элемент \ x^c, удовлетворяющий соотношениям: x \cup x^c = 1, \ x \cap x^c = 0; введена Дж. Булем (1847, 1854) как аппарат символической логики; в последствии нашла широкое применение в теории вероятностей, топологии, функциональном анализе и других разделах математики.

Булевы функции

Определение. Переменная x называется булевой, если она способна принимать только два значения 0 и 1. В качестве примера интерпретации такого рода переменных может выступать обычный настенный выключатель света на два положения. Здесь 1 соответствует положению переключателя вверх и 0 — положению вниз.

Определение. Функция f(x1,x2,…,xn) называется булевой (или логической, или функцией алгебры логики, или переключательной), если все ее аргументы x[i] являются булевыми, а сама функция также может принимать только два значения 0 и 1. Множество всех булевых функций от переменных x1,x2,…,xn обозначают через P2.

Способы задания булевых функций

Способы задания булевых функций не отличаются от способов задания обычных функций анализа. К таковым способам задания стандартно относятся:

1) табличный;

2) графический;

3) аналитический.

Таблица истинности — это таблица, описывающая логическую функцию.

Под «логической функцией» в данном случае понимается функция, у которой значения переменных (параметров функции) и значение самой функции выражают логическую истинность. Например, в двузначной логике они могут принимать значения «истина» либо «ложь» ( либо ,  либо ).

Табличное задание функций встречается не только в логике, но для логических функций таблицы оказались особенно удобными, и с начала XX века за ними закрепилось это специальное название. Особенно часто таблицы истинности применяются в булевой алгебре и в аналогичных системах многозначной логики. Логические операции

Логические операции булевой алгебры подобны арифметическим операциям элементарной алгебры. Если последние применяются к числам, то первые — к логическим значениям соответствующих высказываний. Составные высказывания можно получать с помощью логических операций так же, как в элементарной алгебре — формулы. И, если известны значения исходных высказываний, значение составного высказывания можно вычислить, прибегая лишь к формальным правилам. Уравнения, составленные в алгебре логики можно формально решать. Все это обеспечивает широкие возможности по применению математического аппарата к суждениям из реальной жизни (там, где не хватает аппарата булевой алгебры, применяются более сложные методы математической логики, в частности,исчисление предикатов первого порядка и др.).

Логические операции можно описывать с помощью таблиц истинности. В такой таблице в колонках стоят операнды операции и сама операция, а в строках — различные значения операндов и результат применения к ним данной операции.

Основные логические операции

Основными логическими операциями являются операции отрицания, логического И и логического ИЛИ. Именно с помощью них наиболее удобно оперировать с логическими выражениями. Производные логические операции могут быть выражены через них.

Отрицание НЕ

Отрицание — операция, применяемая к одному операнду, т.е. унарная операция. Выражение не A записывается как ¬A, A¯¯¯ или !A. Операции отрицания задается следующей таблицей истинности:

A	¬A
0	1
1	0

Соответственно, операции отрицания можно дать следующее истолкование: истинность выражения, построенного с помощью отрицания, противоположнаистинности исходного выражения. Если A истинно, ¬A ложно, и наоборот.

В некотором роде операция отрицания подобна операции отрицания в элементарной алгебре. Последняя меняла значение числа на противоположное: положительное на отрицательное и наоборот.

Логическое И

Логическое И (конъюнкция) — операция, применяемая к двум операндам, т.е. бинарная операция. Выражение A и B записывается как A∧B, A⋅B или A&&B. Конъюнкция задается следующей таблицей истинности:

A	B	A∧B
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Логическое И, как не сложно понять из названия, образует выражение, которое истинно только тогда, когда истинны оба исходных выражения, входящих в его соста:и первое, и второе.

Операция конъюнкции подобна умножению. Это легко заметить по таблицы истинности. Конъюнкция дает такой же результат, как если бы мы просто перемножали ее операнды.

Логическое ИЛИ

Логическое ИЛИ (дизъюнкция) — еще одна бинарная операция. Выражение A или B записывается как A∨B, A+B или A||B. Дизъюнкция задается следующей таблицей истинности:

A	B	A∨B
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

Логическое ИЛИ образует выражение, которое истинно тогда, когда истинно хотя бы одно исходных выражение, входящее в его состав: или первое, или второе.

Операция дизъюнкции подобна сложению. Как и в случае с конъюнкцией, это можно заметить по таблице истинности. Единственным исключением тут является правило 1+1=1, а не 2, как можно было бы ожидать. Но это нормальное явление, учитывая, что пространство логических значений ограничено нулем и единицей.

Производные логические операции

К производным логическим операциям относятся операции исключающего или, импликации, эквивалентности. Они могут применяться при составлении логических выражений, но при дальнейшем анализе выражаются с помощью основных логических операций.

Исключающее ИЛИ

Операция исключающего ИЛИ похожа на обычную дизъюнкцию. Ее обозначают как A⊕B или A^B. Операция задается следующей таблицей истинности:

A	B	A⊕B
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

Как видно из таблицы, отличие исключающего ИЛИ от дизъюнкции заключается в том, что полученное выражение будет ложным, если истинны оба исходных выражения, а не только одно из них.

Высказывание вида A⊕B в логическом выражении можно заменить на A∧¬B∨B∧¬A.

Операция импликации

Бинарная операция импликации выражается связками если… , то, из … следует, влечет. Операция записывается как A→B или A⇒B и задается следующей таблицей истинности:

A	B	A→B
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

В импликации A называется посылкой, а B — следствием. Выражение, образованное импликацией, ложно только в том случае, когда посылка истинна, а следствие ложно. При ложной посылке состояние следствия может быть каким угодно.

Высказывание вида A→B в логическом выражении можно заменить на ¬A∨B, при этом оно останется тождественно исходному, то есть будет истинно или ложно ровно в тех же самых случаях, что и оригинальное.

Операция эквивалентности

Данная операция выражается связками тогда и только тогда, необходимо и достаточно, равносильно. Операция имеет следующие обозначения: A≡B, A⇔B, A==B. Таблица истинности выглядит так:

A	B	A≡B
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Выражение, образованное эквивалентностью, истинно, если истинность обоих операндов совпадает.

Эквивалентность можно заменить на две импликации, а те, в свою очередь, раскрыть по правилам, указанным выше. Получится, что высказывание вида A≡Bможно заменить на A∧B∨¬A∧¬B.

Приоритеты операций

Приоритеты основных логических операций соответствуют приоритетам аналогичных операций в элементарной алгебре. Приоритет исключающего ИЛИ совпадает с приоритетом дизъюнкции. Импликация и эквивалентность обладают равными низшими приоритетами.

Приоритеты логических операций
Отрицание
Конъюнкция
Дизъюнкция, исключающее ИЛИ
Импликация, эквивалентность

Законы булевой алгебры

Как и в элементарной алгебре, логические выражения можно упрощать, чтобы облегчить задачу последующих вычислений или решения уравнений. Эта возможность обусловлена наличием у логических операций и их комбинаций различных свойств, которые позволяют переходить от исходного выражения к тождественному, упрощая его при этом.

В качестве первого шага к упрощению рекомендуется избавиться от всех производных операций в логическом выражении. Поэтому далее будут перечислены только свойства основных логических операций.

Ассоциативность

Ассоциативность конъюнкции и дизъюнкции выражается следующими формулами:

(A∧B)∧C=A∧(B∧C)=A∧B∧C,

(A∨B)∨C=A∨(B∨C)=A∨B∨C.

На практике это означает, что можно опускать те скобки, которые определяют, в каком порядке должна выполняться конъюнкция в выражениях вида A1∧A2∧⋯∧An и дизъюнкция в выражениях вида A1∨A2∨⋯∨An.

Коммутативность

Если операция коммутативна, то результат ее применения не зависит от того, какой из операндов был первым, а какой — вторым. Операнды коммутативных операций можно менять друг с другом местами, получая тождественный результат.

Конъюнкция и дизъюнкция являются коммутативными операциями:

A∧B=B∧A,

A∨B=B∨A.

Дистрибутивность

Свойство дистрибутивности одной операции относительно другой позволяет «раскрывать» скобки аналогично процедуре из элементарной алгебры. Конъюнкция и дизъюнкция дистрибутивны друг относительно друга, что выражается в следующих формулах:

A∧(B∨C)=A∧B∨A∧C,

A∨B∧C=(A∨B)∧(A∨C).

Свойства единицы и нуля

Конъюнкция и дизъюнкция «по-особому» реагируют на единицу или ноль в качестве одного из операндов независимо от значения второго. Эти свойства похожи на знакомые из элементарной алгебры умножение на единицу, умножение на ноль, сложение с нулем:

A∧0=0,A∧1=A,

A∨0=A,A∨1=1.

Идемпотентность

Операция называется идемпотентной, если, применяя ее к двум равным операндам, получается тот же самый операнд. Идемпотентность позволяет «выкидывать» лишние повторные применения операции из формулы. Конъюнкция и дизъюнкция идемпотентны:

A∧A=A,

A∨A=A.

Поглощение

Если к выражению применяется с одним и тем же операндом сначала одна операция, а потом, с тем же самым операндом, поглощающая ее, то значение выражения поглощается, становясь равно операнду. Таким образом поглощающие друг друга пары операций можно «выкидывать» во время упрощения. Конъюнкция и дизъюнкция поглощают друг друга:

A∧B∨B=B,

(A∨B)∧B=B.

Законы де Моргана

Законы де Моргана позволяют применять отрицания к целой скобке, позволяя перейти к так называемым тесным отрицаниям, когда ни одно отрицание не стоит перед скобкой.

¬(A∧B)=¬A∨¬B,

¬(A∨B)=¬A∧¬B.

Дополнение

Отрицание операнда называется его дополнением. Конъюнкция или дизъюнкция операнда со своим дополнением дает однозначные результат независимо от значения операнда:

A∧¬A=0,

A∨¬A=1.

Двойное отрицание

Двойное отрицание компенсирует само себя. Таким образом в форме с тесными отрицаниями у каждой переменной в выражении либо не стоит ни одного отрицания, либо только одно.

¬¬A=A.

Советы по упрощению логических выражений

Как уже было сказано выше, сперва рекомендуется избавиться от всех производных логических операций. Так же полезно раскрыть все скобки, перейти к форме с тесными отрицаниями. В процессе полезно применить свойства идемпотентности, поглощения, дополнений, нуля и единицы. Иногда, чтобы упростить выражение, необходимо, наоборот, что-то вынести за скобку, чтобы сократить то, что в скобках останется. В целом, необходимо добиться минимального числа переменных, операций конъюнкции и дизъюнкции. При этом в упрощенной формуле должны быть тесные отрицания и не должно быть производных операций.

Связь между логическими операциями и операциями над множествами

При анализе логических выражений полезно применять круги Эйлера. Но перед тем, как их использовать, необходимо разобраться, как связаны логические операции с операциями над множествами.

Будем обозначать множества строчными латинскими буквами: a, b, c… Представим, что есть некоторое универсальное множество u, такое, что в него входят все элементы из всех остальных рассматриваемых множеств. Каждому элементу x множества u сопоставим высказывания A(x)=x∈a, B(x)=x∈b, C(x)=x∈c…

Пересечение

Множество c=a∩b называется пересечением множеств a и b, если для всех элементов x универсального множества u выполнено C(x)≡A(x)∧B(x). То есть пересечению множеств принадлежат только те элементы, которые принадлежат сразу всем множествам, входящим в пересечение.

Объединение

Множество c=a∪b называется объединением множеств a и b, если для всех элементов x универсального множества u выполнено C(x)≡A(x)∨B(x). То есть объединению множеств принадлежат все те элементы, которые принадлежат хотя бы одному из множеств, входящих в объединение.

Дополнение

Множество c=a¯ называется дополнением множества a, если для всех элементов x универсального множества u выполнено C(x)≡¬A(x). То есть дополнению множества принадлежат все элементы универсального множества, но только не элементы исходного множества.