Метод Крутого восхождения

Метод крутого восхождения (метод Бокса и Уилсона) применяется для отыскания оптимальных условий протекания технологического процесса. Задача состоит в том, чтобы найти такие значения факторов х_i, при которых функция отклика принимает наибольшее или наименьшее значение. В методе Бокса-Уилсона метод градиента применяется в сочетании с дробным факторным экспериментом. Исследователь вначале ставит небольшую серию опытов для локального описания небольшого участка поверхностного отклика полиномом первой степени. Например, если

то для увеличения у следует увеличивать х₁ и уменьшать х₂. Выбор преобладающих факторов и оценка их значимости по коэффициентам регрессии линейной модели позволяет сплани-ровать последующие эксперименты для достижения оптимальной области кратчайшим способом. Эта задача решается путем учета знаков при коэффициентах. Важно правильно выбрать величину шага по х₁ и х₂. Малые шаги могут не позволить зафиксировать изменение параметра оптимизации и удлиняют поиск, а верхний предел шага лимитируется областью определения фактора. Следует отметить, что двигаться необходимо из центра эксперимента

(основного уровня), а не из какой-либо точки (например, наилучшей).

Движение осуществляется в направлении градиен­та линейного приближения. Движе-ние в направление градиента - это движение по кратчайшему, наиболее крутому пути, отсюда его название "крутое восхождение".

Если одного линейного приближения ока­зывается недостаточно, то ставится новая небольшая серил опытов и находятся новое направление для движения по поверхности откли­ка. Такой шаговый процесс движения по поверхности отклика продол­жается до тех пор, дока исследователь не попадет в "почтя в стационарную область", где линейное приближение оказывается уже не­достаточным. Здесь ставится большая серия опытов и поверхность отклика описывается полиномом второго, а иногда, хотя и редко, даже третьего порядка. При таком подходе к задаче достигается высокая концентрация опытов в той части поверхности отклика, ко­торая преимущественно интересует исследователя.

Кратчайшее расстояние к максимуму (минимуму) непрерывной однозначной функции отклика из любой точки определяется градиентом —вектором, перпендикулярным изоклинам параметра оптимизации (см. рис. 4.х)

Рис. 4.х. Движение к максимуму поверхности отклика методами однофакторного эксперимента и крутого восхождения

Если поверхность отклика описана линейным уравнением, то частные производные будут равны юэффициентам регрессия ( а_o, а₁, а₂ и т.д.). В этом случае для движения по поверхности откли­ка в направлении крутого восхождения нужно будет независимые пе­ременные изменять пропорционально величине соответствующих коэф­фициентов регрессий с учетом их знака.

Д л я этого вычисляется расчетный коэффициент

Тогда шаг крутого восхождения по любому фактору в натуральных единицах можно вычислить по формуле

где k_р — расчетный коэффициент.

Далее последовательно составляющие градиента (шаги) прибавляются к основному уровню до тех пор, пока значения х не выйдут за область определения переменных.

Шаговый процесс движения по поверхности отклика продолжается до тех пор, пока исследователь не попадет в почти стационарную область, где линейное приближение оказывается уже недостаточным. При переходе через оптимум (по другую сторону холма) значение параметра оптимизации вновь должно ухудшаться. Таким способом определяется оптимальная область.

Возможен случай, когда по какой-либо причине эксперимент, выполняемый по состав-зленному плану, оказывается неудачным. Это проявляется в незначимости коэффициентов либо в неадекватности модели. Если линейная модель адекватна, но многие коэффициенты незначимы, то в зависимости от характера исследований (стоимости и продолжительности опытов, близости области оптимума и т. п.) могут быть приняты решения об изменении интервалов варьирования и повторении эксперимента, переноске центра плана, отсеивании незначимых факторов, увеличении числа параллельных опытов и достройке плана.

Когда есть уверенность, что область оптимума далека либо неизвестна, можно допу-стить движение по градиенту и при незначимости отдельных коэффициентов с обязательным продолжением экспериментальных работ в достигнутой в результате такого движения точке. Если незначимых коэффициентов много, рекомендуется повторить эксперимент с изменен-ными соответствующим образом интервалами варьирования факторов, так как в противном случае при движении по градиенту оставшихся немногих факторов теряются преимущества многофакторного планирования. Следует иметь в виду, что:

- на расчет градиента коэффициент а_о не оказывает обычно влияния;

- для качественных факторов на двух уровнях фиксируется лучший уровень;

- незначимые факторы стабилизируются на любом уровне в интервале ±1 . Если нет специальных соображений, то выбирают нулевой уровень. Если же по экономическим соображениям, например, выгодно поддерживать нижний уровень, то выбирают его.

Если линейная модель неадекватна, о чем можно судить кроме критерия Фишера по

значимости суммы коэффициентов регрессии при квадратических членах , которая может быть вычислена по формуле

где y_о — значение параметра оптимизации в центре плана, то принимаются следующие решения: изменить интервалы варьирования; достроить план; перенести центр плана; включить в модель эффекты взаимодействия.

Планирование экспериментов в почти стационарной области

Движение по градиенту прекращают, когда доминирующими становятся коэффициенты регрессии, характеризующие эффекты взаимодействия. При планировании эксперимента в области оптимума ставится задача детального изучения поверхности отклика с тем, чтобы получить статическую модель процесса. Для выполнения этой задачи представление поверх-ности отклика полиномом первой степени уже недостаточно. Обычно используют полином второй степени и в редких случаях приходится обращаться к полиному более высоких поряд-ков. При переходе к полиному второй степени необходимо три уровня варьирования факто-ров. Для реализации такой схемы планирования существует несколько математических

приемов.

Первым из таких приемов был метод ортогонального планирования. Наиболее эконо-мичной является композиционная (последовательно строящаяся) схема. Основу планирова-ния составляет факторный эксперимент на двух уровнях. Это позволяет рассчитать все основ-ные эффекты и эффекты взаимодействия первого порядка. Затем добавляются точки для нахождения квадратичных эффектов, называемые звездными. Например, центральное компо-зиционное планирование для трех факторов: восемь точек полного факторного эксперимента, шесть ≪звездных≫ точек с координатами ( ±α, О, 0), (О, ±α, 0), (О, О, ±α ), один или два опы-та в центре эксперимента (n_о). Общее число точек при k факторах будет 2^k +2k + n_о.

Величина α для различного числа факторов приведена в работе «Статистические мето-ды планирования экстремальных экспериментов» (авторы В.В. Налимов и Н.А. Чернова).

Вследствие ортогональности планирования все коэффициенты определяются незави-симо друг от друга по формуле

*

где i — порядковый номер графы в матрице планирования;

a_iu— элементы соответствующей графы.

Дисперсия коэффициента регрессии оценивается по формуле:

**

В отличие от планирования первого порядка знаменатель в формулах (*) и (**) различен для разных граф. В связи с этим коэффициенты регрессии оцениваются с разными ошибками.

Кроме того, дисперсия параметра оптимизации не сохраняет постоянное значение для точек факторного пространства, расположенных на равных расстояниях от центра планиро-вания, т. е. не выполняется один из критериев оптимальности.

Указанные недостатки привели к отказу от ортогональных планов. Бокс и Хантер в 1954 году предложили считать оптимальным ротатабельное планирование второго порядка. Прак-тически различие между этими схемами планирования сводится к использованию разных величин расстояний до звездных точек и к разному числу опытов в центре эксперимента. Однако при планировании этим методом значительно увеличивается объем выполняемой работы, требующей применение вычислительной техники со стандартной программой.

Предложения и выводы

Проведение любого исследования должно начинаться с поиска и анализа существую-щей информации по изучаемому вопросу, имею­щейся в технической литературе. Это апри-орная (доопытная) информация.

На основании детального анализа литературных и практиче­ских данных выбирается перечень управляющих воздействий, т.е. переменных факторов х₁,х₂, х₃ и т.д. Это очень важная и от­ветственная задача. Если выбрано слишком много параметров, необ­ходимо ста-вить большое количество опытов и выполнить большой объем математических расчетов. Если же будет пропущен один важ­ный параметр, то уравнение регрессии не будет отвечать процессу (адекватно его описывать).

Требования, предъявляемые к факторам: .

I.. Факторы должны быть управляемыми т.е. экспериментатор, выбрав нужное значе-ние фактора, может его поддерживать постоянным в течение всего опыта.

2. Операциональностъ заключается в том, что указывается последовательность действий (операций), с помощью которых устанавливаются конкретные значения (уровни).

3. Достаточно высокая точность замера, которая в свою оче­редь определяется диапа-зоном изменения факторов.

4. Однозначность, выражающаяся в том, что факторы должны быть непосредствен-ными воздействиями на объект, а не являться функцией других факторов.

Требования к совокупности факторов:

' 1. Совместимость факторов, означаются, что все их комбинации осуществимы и безопасны

2. Независимость факторов, т.е. возможность установления фактора на любом уровне вне зависимости от уровней других факто­ров. Другими словами это означает отсутствие корреляция между факторами, т.е. линейной связи, другие вида связи при этом могут иметь место.