7. Воздействие сложных сигналов

НА ЛИНЕЙНУЮ ЦЕПЬ

7.1. Переходная и импульсная характеристики цепи

Свойства четырехполюсника могут быть описаны во временной области в виде переходной и импульснойхарактеристик.

Переходная характеристика цепи – это отношение реакции цепи на входное воздействие в виде единичной функции (функции Хэвисайда) к единице размерности входного воздействия (1 В или 1 А). График единичной функции показан на

рис. 7.1. Рис. 7.1

Импульсная характеристика

цепи - это отношение реакции цепи на входное воздействие в виде единичного импульса (функции Дирака или-функции) к единице размерности входного воздействия (1 В или 1 А). График-функции Дирака показан на рис. 7.2. Переходная характеристикабезразмерна, а импульсная измеряется в1/с. Рис. 7.2

Временные характеристики цепи

определяются через операторный коэффициент передачи с помощью преобразования Лапласа:

- импульсная характеристика является оригиналом операторного коэффициента передачи,

; (7.1)

- переходная характеристика является оригиналом опе-

220

раторного коэффициента передачи, деленного на ,

. (7.2)

Рассмотрим четырехполюсник, схема которого показана на рис. 7.3.

Рис. 7.3

Операторный коэффициент передачи равен

По таблице из приложения 2 находим оригинал операторного коэффициента передачи – импульсную характеристику цепи (7.1)

. (7.2)

221

Обозначим

.

Изображение по Лапласу переходной характеристики (7.2) равно

а соответствующий оригинал – переходная характеристика- определяется по таблице в приложении 2

(7.3)

(повторите расчеты самостоятельно).

Графики переходной и импульсной (без -функции) характеристик показаны на рис. 7.4 прии.

Рис. 7.4

222

Рассмотрим четырехполюсник, схема которого показана на рис. 7.5а. Его операторная эквивалентная схема показана на рис. 7.5б.

Рис. 7.5

Определим операторный коэффициент передачи. По закону Ома входной операторный ток равен

,

тогда определим выходное напряжение

Подставляя выражение для тока , получим

223

В результате получим выражение для операторного коэффициента передачи

,

которое преобразуем к виду, требуемому для таблиц преобразования Лапласа

. (7.4)

По таблице из приложения 2 находим оригинал операторного коэффициента передачи – импульсную характеристику цепи

. (7.5)

224

Изображение по Лапласу переходной характеристики из (7.4) равно

, (7.6)

а соответствующий оригинал – переходная характеристика- определяется по таблице в приложении 2

. (7.7)

Графики переходной и импульсной характеристик показаны на рис. 7.6 при и.

Рис. 7.6

7.2. Временной метод расчета (интеграл Дюамеля)

Определим реакцию цепи на рис. 7.3 на входное напряжение в виде одиночного прямоугольного импульса с амплитудой и длительностью, показанного на рис. 7.7.

225

Рис. 7.7

Переходная и импульсная характеристики цепи имеют вид

.

В соответствии с временным методом расчета выходное напряжение равно

В полученном выражении учтено «фильтрующее свойство» -функции (повторите необходимый материал)

.

226

Входное напряжения описывается по разному на различных интервалах времени

На первом интервале времени для выходного напряжения получим

На втором временном интервале получим

Зависимость выходного напряжения от времени при ,,ина интервале времени от 0 до 20 мкс показана на рис. 7.8.

227

Рис. 7.8

Напишите программу расчета временной диаграммы полученного выходного сигнала, рассмотрите влияние параметров сигнала и цепи.

Проведем расчет реакции цепи на рис. 7.5 с импульсной характеристикой (7.5) на входное воздействие в виде импульса напряжения, показанного на рис. 7.9а,

Рис. 7.9

228

Вычисляя интеграл (проведите расчет самостоятельно) получим

Временная диаграмма выходного напряжения показана на рис. 7.9б при ,,и.

Напишите программу расчета, рассмотрите влияние параметров сигнала и цепи на форму выходного напряжения.

229

7.3. Операторный метод расчета

Операторный метод расчета реакции цепи на сложный входной сигнал предполагает определение изображения по Лапласувходного воздействия и операторного коэффициента передачичетырехполюсника, тогда изображение по Лапласувыходного сигнала равно

, (7.8)

а выходной сигнал является его оригиналом

. (7.9)

Рассмотрим воздействие напряжения вида

(7.10)

на вход четырехполюсника, операторная эквивалентная схема которого показана на рис. 7.3.

Операторный коэффициент передачи цепи был вычислен ранее и равен

(7.11)

Изображение по Лапласу входного напряжения (7.10) по таблице из приложения 2 имеет вид

,

230

тогда изображение выходного сигнала определяется из (7.8)

Оригинал определим по таблице в приложении 2,

231

На рис. 7.10 показаны временные диаграммы входного (пунктир) и выходного (сплошные линии) напряжения при ,,дляи.

Рис. 7.10

Проанализируйте полученные результаты, получите формулы для тока индуктивности, постройте соответствующие графики.

Рассмотрим воздействие на ту же цепь (рис. 7.3) одиночного прямоугольного импульса, показанного на рис. 7.11а.

Рис. 7.11

232

Прямоугольный импульс можно сформировать в виде суммы двух скачков напряжения, показанных на рис. 7.11б и рис. 7.11в. Скачок напряжения можно описать с помощью единичной функции Хэвисайда, тогда получим

. (7.12)

Пусть функция задержана во времени на интервали записывается в виде. Соответствующие им изображения по Лапласуиописываютсятеоремой запаздывания вида

. (7.13)

С учетом (7.13) из (7.12) и таблицы в приложении 2 получим изображение по Лапласу входного сигнала

.

Операторный коэффициент передачи цепи на рис. 7.3 получен ранее и определяется выражением

,

тогда изображение выходного сигнала равно

.

Подставляя выражения для и, получим

233

(7.14)

На интервале времени существует оригинал только от первого слагаемого (7.14), равный

(получите результат самостоятельно). Если же , то вычисляется изображение обоих слагаемых (7.14) и второй оригинал задерживается на интервал временив соответствии с теоремой запаздывания (в нем переменнаязаменяется на), тогда получим

(проведите расчет самостоятельно).

Выражения для выходного напряжения совпадают с полученными ранее результатами, показанными на рис. 7.8.

Реакция на единичный скачок напряжения численно равна переходной характеристике цепи, тогда с учетом (7.3) на интервале времени выходное напряжение равно

234

При включается в действие второй скачок напряжения, тогда

Как видно, получены те же соотношения для выходного напряжения.

7.4. Пример схемотехнического моделирования

Проведем схемотехническое моделирование в пакете программ MicroCAP цепи на рис. 7.3 при и. На нее воздействует прямоугольный импульс вида рис. 7.7 прии. Модель показана на рис. 7.12.

Рис. 7.12

235

На рис. 7.13 показана переходная характеристика цепи, а на рис. 7.14 – временная диаграмма выходного напряжения.

Рис. 7.13

Рис. 7.14

236

Модель позволяет исследовать влияние на выходной сигнал параметров входного воздействия и элементов цепи. На рис. 7.15 в качестве примера показаны полученные в пошаговом режиме временные диаграммы выходного напряжения (в узле 2) для различных значений индуктивности .

Рис. 7.15

Как видно, схемотехническое моделирование является высокоэффективным методом исследования электрических цепей. Его целесообразно использовать для проверки правильности расчетов.

237

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

МЕТОД (ПРАВИЛО) КРАМЕРА

Рассмотрим систему из линейных уравнений длянеизвестных вида

с действительными или комплексными коэффициентами. Определитель (детерминант) системы уравнений равен

Для системы из двух уравнений () получим

а при соответственно

238

Если детерминант не равен нулю, то корни системы уравнений определяются выражением

где - определитель, получающийся из детерминанта заменой-го столбца соответствующими свободными членами уравнений, например

, ,…,

.

239

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА

Оригинал	Изображение	Оригинал	Изображение
Дельта-функция Дирака	1	Единичная функция Хевисайда
(at)

240

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Литвиненко В.П. Основы электротехники. Ч. 1. Цепи постоянного тока, линейные цепи при гармонических воздействиях: учеб. пособие / В.П. Литвиненко. Воронеж: ВГТУ, 2007, 152 с.

2. Литвиненко В.П. Основы электротехники. Ч. 2. Частотно-селективные цепи, спектральный анализ сигналов: учеб. пособие / В.П. Литвиненко. Воронеж: ВГТУ, 200 с.

3. Литвиненко В.П. Основы электротехники. Ч. 3. Переходные процессы в линейных электрических цепях, нелинейные цепи: учеб. пособие / В.П. Литвиненко. Воронеж: ВГТУ, 2008, 256 с.