Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Расчет_цепей.doc

Скачиваний:

161

Добавлен:

31.05.2015

Размер:

4.99 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 72 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

2. Метод комплексных амплитуд

2.1. Гармоническое колебание

Гармоническое колебание должно записываться [1] в канонической форме

, (2.1)

где - амплитуда,- круговая частота,- циклическая частота,- период, а- начальная фаза.

Если гармонический сигнал представлен не в канонической форме (2.1), то его необходимо преобразовать с использованием тригонометрических соотношений, приведенных в табл. 2.1.

Таблица 2.1

Исходная функция	Результат преобразования

Если сигнал задан в виде , то после преобразования получим

Примеры преобразований гармонического сигнала в каноническую форму показаны в табл. 2.2.

2.2. Комплексная амплитуда

Для гармонического сигнала (тока или напряжения)

комплексная амплитуда равна

, . (2.2)

Пусть ток равен , тогда его комплексная амплитуда равна. Если известна комплексная амплитуда напряженияпри частоте, то мгновенные значения напряжения имеют вид.

В табл. 2.2 приведены примеры записи мгновенных значений гармонических сигналов, соответствующих им канонических форм и комплексных амплитуд.

Таблица 2.2

Исходная функция	Каноническая форма	Комплексная амплитуда

Проведите необходимые преобразования самостоятельно.

2.3. Комплексные числа

Комплексные числа могут записываться в алгебраической и показательной формах

где и- действительная и мнимая части,

(без точки сверху) и - модуль и аргумент комплексного числа соответственно,

В табл. 2.3 приведены комплексные числа в алгебраической форме и результаты их преобразования в показательную форму (проведите самостоятельно необходимые вычисления, связанные с переходом от алгебраической формы к показательной и наоборот).

Полезно запомнить следующие соотношения

Рассмотрим операции с комплексными числами.

Пусть заданы два комплексных числа в виде и, тогда их сумма и разность соответственно равны

то есть сложение и вычитание комплексных чисел удобно проводить в алгебраической форме. Если хотя бы одно из этих чисел задано в показательной форме, то его необходимо представить в алгебраическом виде, например,

При необходимости результат можно представить в показательной форме

Таблица 2.3






5
-5

Найдем разность этих же чисел

Проведите вычисления самостоятельно. На рис. 2.1 показана программа вычислений в среде MathCAD.

Рис. 2.1

Умножение и деление комплексных чисел удобно проводить в показательной форме:

Примеры расчета показаны в табл. 2.4.

Таблица 2.4

Проведите вычисления самостоятельно.

Если одно из чисел представлено в алгебраической форме, то его необходимо перевести в показательную форму, примеры показаны в табл. 2.3.

Полезно использовать соотношение (устранение комплексности в знаменателе дроби)

Комплексно-сопряженными называют числа и, а такжеи, они имеют одинаковые модули. Произведение комплексно сопряженных чисел равно квадрату их модуля

Проведем вычисления по устранению комплексности знаменателя, приведенные в табл. 2.5.

Таблица 2.5.

Исходное число	Результат

Вычисления из табл. 2.5 можно выполнить, преобразовав числа из алгебраической формы в показательную, как показано в табл. 2.6.

Таблица 2.6.

Исходное число	Результат

Проведите вычисления в табл. 2.5 и табл. 2.6 самостоятельно. На рис. 2.2 показана программа вычислений в среде MathCAD.

Рис. 2.2

2.4. Векторная диаграмма

Векторная диаграмма электрической цепи – это совокупность векторов, соответствующих гармоническим токам и напряжениям цепи, длина каждого вектора равна амплитуде (или действующему значению) сигнала, а угол наклона вектора к горизонтальной оси – начальной фазе сигнала.

Для построения векторной диаграммы простой цепи необходимо использовать известные связи начальных фаз тока и напряжения в элементах цепи:

- в сопротивлении напряжение совпадает по фазе с током, сдвиг фаз между ними равен нулю;

- в индуктивности напряжение опережает по фазе ток на 90⁰ (на радиан), сдвиг фаз между нимиравен 90⁰;

- в емкости напряжение отстает по фазе от тока на 90⁰ (на радиан), сдвиг фаз между нимиравен -90⁰.

При построении диаграммы необходимо использовать уравнения первого и второго законов Кирхгофа в векторной форме.

Рассмотрим цепь, показанную на рис. 2.3. Мгновенные значения гармонических токов и напряжений обозначены строчными (маленькими) латинскими буквами.

Рис. 2.3

Цепь представляет собой параллельное соединение двух ветвей, одна из которых является последовательным соединением элементов и. Поэтому построение векторной диаграммы целесообразно начинать с токаэтого последовательного соединения, как показано на рис. 2.4 (вектор строитсяпроизвольно).

Рис. 2.4

Напряжение на сопротивлениисинфазно с током , поэтому их векторысовпадают. Напряжение на емкостиотстает по фазе от тока на 90⁰, поэтому соответствующий ему вектор изображается повернутым на прямой угол против часовой стрелки относительно тока . По второму закону Кирхгофа сумма напряжений наирав-

на напряжению на сопротивлении, а токчерезсовпадает по фазе с напряжением(их векторы совпадают по направлению). По первому закону Кирхгофа сумма токовиравна току источника. Векторная диаграмма построена без численных расчетов (качественно). Как видно,длины векторов выбираются произвольно, за исключением тех, которые строятся по законам Кирхгофа.

Рассмотрим цепь в виде последовательного соединения сопротивления, индуктивности, емкости и источника напряжения, показанную на рис. 2.5 (она будет использоваться в лабораторной работе).

Рис. 2.5

В последовательной цепи построение векторной диаграммы начинают с вектора общего тока. Он отображается произвольно, например, горизонтально и направленным вправо, как показано на рис. 2.6. Напряжение на сопротивлении совпадает по фазе с током, напряжение на емкости отстает от него по фазе на 90⁰, а напряжение на индуктивности опережает ток по фазе на 90⁰, соответст-

Рис. 2.6 вующие векторы изображены

на рис. 2.5 с произвольной длиной. Сумма этих напряжений равна ЭДС источника .

Построим векторную диаграмму цепи, показанной на рис. 2.7а. В цепи последовательно соединены индуктивность и параллельно включенные сопротивлениеи емкость, поэтому начать целесообразно с напряжения на параллельном соединении, как показано на рис. 2.7б.

Рис. 2.7

Ток через сопротивление совпадает по фазе с напряжением , а через емкость – опережает его по фазе на 90⁰. Сумма токов исогласно первому закону Кирхгофа равна току индуктивности, а напряжение на индуктивностиопережает ток по фазе на 90⁰. По второму закону Кирхгофа сумма напряжений иравна ЭДС источника.

2.5. Комплексные сопротивление и проводимость

участка цепи

Комплексные сопротивления и проводимости элементов цепи приведены в табл. 2.7. Для сопротивления онидействительны, а для реактивных элементов (индуктивности и емкости) являютсямнимыми числами.

В общем случае комплексное сопротивление можно записать в виде

, (2.3)

где -активная, а -реактивная составляющие сопротивления. Для комплексной проводимости аналогично получим

, (2.4)

где - активная, а- реактивная составляющие проводимости.

Таблица 2.7.

Элемент	Сопротивление	Проводимость

Реактивное сопротивление емкости и реактивная проводимость индуктивностиотрицательны, а реактивное сопротивление индуктивности и реактивная проводимость емкостиположительны. Активные сопротивление и проводимостьне могут быть отрицательны.

Если реактивное сопротивление положительно (реактивная проводимость отрицательна), то цепь имеет индуктивный характер, а иначе – емкостный.

При последовательном соединении элементов их комплексные сопротивления складываются, а при параллельном суммируются их комплексные проводимости.

Сопротивление смешанной цепи рассчитывается следующим образом. В цепи выделяются простые фрагменты с последовательным или параллельным соединением, вычисля-

ются их полные комплексные сопротивления (проводимости) и эти фрагменты заменяются одним эквивалентным элементом. Цепь упрощается, и процедура вновь повторяется.

Рассмотрим пример вычисления комплексного сопротивления цепи, показанной на рис. 2.8а при ,ина частоте.

Рис. 2.8

В цепи имеется фрагмент с простым параллельным соединением элементов и, эквивалентное комплексное сопротивлениекоторого равно

Заменяя выбранный фрагмент эквивалентным элементом с комплексным сопротивлением , получим цепь на рис. 2.8б. Ее комплексное сопротивлениезаписывается в виде

(2.5)

Подставляя исходные данные, получим , то есть цепь имеет индуктивный характер.

Как видно, активная и реактивная составляющие сопротивления из (2.5) зависят от частотыгармонического сигнала. Программа и результаты расчета этих зависимостей показаны на рис. 2.9 при,для двух значений сопротивленияи.

Рис. 2.9

Как видно, на различных частотах значения составляющих комплексного сопротивления сильно изменяются, в том числе и характер сопротивления.

Цепь на рис. 2.9а можно рассчитать через эквивалентную проводимость параллельного соединения элементови,

вычисляя сопротивление цепи на рис. 2.9б по формуле

Очевидно, получим (2.5). Проводимость цепи равна

Проведем расчет комплексной проводимости цепи на рис. 2.10а при ,ина частоте.

Рис. 2.10

В цепи имеется простое последовательное соединение двух элементов и, его сопротивление равно

Получим эквивалентную цепь, показанную на рис. 2.10б. Ее проводимость можно записать в виде

Подставляя значения параметров цепи, получим (цепь имеетемкостный характер). Сопротивление цепи равно

(проведите вычисления самостоятельно).

2.6. Комплексная мощность

Полная комплексная мощность гармонического воздействия на двухполюсник (рис. 2.11) скомплексными амплитудами тока и напряженияравна

, (2.6)

Рис. 2.11

где -комплексно-сопряжен-

ная амплитуда тока (значение с противоположным знаком аргумента). Из (2.6) получим

(2.7)

- сдвиг фаз между напряжение6м и током в двухполюснике. Действительная часть является мощностью,потребляемой цепью от источника (активной мощностью),