1_Algebra_logiki
.pdf
Полиномы
Метод неопределенных коэффициентов
P (~xn) = |
ai1;:::;im (xi1 : : : xim ) |
(i1 Lm |
) |
;:::;i |
Пример f(~x3) = (0001 0111)
f(~x3) = a0 a1x1 a2x2 a1;2x1x2 a3x3 a3;1x3x1 a3;2x3x2 a1;2;3x3x2x1
f(0; 0; 0) = 0 = a0 |
) a0 = 0; |
f(0; 0; 1) = 0 = a0 a3 |
) a3 = 0; |
f(0; 1; 0) = 0 = a0 a2 |
) a2 = 0; |
f(0; 1; 1) = 1 = a0 a2 a3 a2;3 |
) a2;3 = 1; |
f(1; 0; 0) = 0 = a0 a1 |
) a1 = 0; |
Николаева Екатерина Александровна (ТГУ) |
Алгебра логики |
22 / 50 |
Полиномы
Метод неопределенных коэффициентов
P (~xn) = |
ai1;:::;im (xi1 : : : xim ) |
(i1 Lm |
) |
;:::;i |
Пример f(~x3) = (0001 0111)
f(~x3) = a0 a1x1 a2x2 a1;2x1x2 a3x3 a3;1x3x1
f(0; 0; 0) = 0 = a0
f(0; 0; 1) = 0 = a0 a3 f(0; 1; 0) = 0 = a0 a2
f(0; 1; 1) = 1 = a0 a2 a3 a2;3 f(1; 0; 0) = 0 = a0 a1
f(1; 0; 1) = 1 = a0 a1 a3 a1;3 f(1; 1; 0) = 1 = a0 a1 a2 a1;2
f(1; 1; 1) = 1 = a0 a1 a2 a3 a1;2
a1;3 a2;3 a1;2;3
a3;2x3x2 a1;2;3x3x2x1
) a0 = 0; ) a3 = 0; ) a2 = 0; ) a2;3 = 1; ) a1 = 0; ) a1;3 = 1; ) a1;2 = 1;
) a1;2;3 = 0:
Николаева Екатерина Александровна (ТГУ) |
Алгебра логики |
22 / 50 |
Полиномы
Метод неопределенных коэффициентов
P (~xn) = |
ai1;:::;im (xi1 : : : xim ) |
(i1 Lm |
) |
;:::;i |
Пример f(~x3) = (0001 0111)
f(~x3) = a0 a1x1 a2x2 a1;2x1x2 a3x3 a3;1x3x1
f(0; 0; 0) = 0 = a0
f(0; 0; 1) = 0 = a0 a3 f(0; 1; 0) = 0 = a0 a2
f(0; 1; 1) = 1 = a0 a2 a3 a2;3 f(1; 0; 0) = 0 = a0 a1
f(1; 0; 1) = 1 = a0 a1 a3 a1;3 f(1; 1; 0) = 1 = a0 a1 a2 a1;2
f(1; 1; 1) = 1 = a0 a1 a2 a3 a1;2
a1;3 a2;3 a1;2;3
f(~x3) = x2x3 x1x3 x1x2
a3;2x3x2 a1;2;3x3x2x1
) a0 = 0; ) a3 = 0; ) a2 = 0; ) a2;3 = 1; ) a1 = 0; ) a1;3 = 1; ) a1;2 = 1;
) a1;2;3 = 0:
Николаева Екатерина Александровна (ТГУ) |
Алгебра логики |
22 / 50 |
Полиномы
Полином Жегалкина
Теорема
Любую булеву функцию можно представить полиномом Жегалкина единственным образом.
Николаева Екатерина Александровна (ТГУ) |
Алгебра логики |
23 / 50 |
Полиномы
Полином Жегалкина
Теорема
Любую булеву функцию можно представить полиномом Жегалкина единственным образом.
Доказательство
Николаева Екатерина Александровна (ТГУ) |
Алгебра логики |
23 / 50 |
Полиномы
Полином Жегалкина
Теорема
Любую булеву функцию можно представить полиномом Жегалкина единственным образом.
Доказательство
1. Существование.
Николаева Екатерина Александровна (ТГУ) |
Алгебра логики |
23 / 50 |
Полиномы
Полином Жегалкина
Теорема
Любую булеву функцию можно представить полиномом Жегалкина единственным образом.
Доказательство
1. Существование.
Åñëè f(x1; : : : ; xn) = 0 ) задающий ее полином константа 0.
Николаева Екатерина Александровна (ТГУ) |
Алгебра логики |
23 / 50 |
Полиномы
Полином Жегалкина
Теорема
Любую булеву функцию можно представить полиномом Жегалкина единственным образом.
Доказательство
1. Существование.
Åñëè f(x1; : : : ; xn) = 0 ) задающий ее полином константа 0. Пусть f(x1; : : : ; xn) 6= 0
Николаева Екатерина Александровна (ТГУ) |
Алгебра логики |
23 / 50 |
Полиномы
Полином Жегалкина
Теорема
Любую булеву функцию можно представить полиномом Жегалкина единственным образом.
Доказательство
1. Существование.
Åñëè f(x1; : : : ; xn) = 0 ) задающий ее полином константа 0. Пусть f(x1; : : : ; xn) 6= 0
f(x1; : : : ; xn) = |
W |
x11 xnn |
( 1;:::; n) f( 1;:::; n)=1
Николаева Екатерина Александровна (ТГУ) |
Алгебра логики |
23 / 50 |
Полиномы
Полином Жегалкина
Теорема
Любую булеву функцию можно представить полиномом Жегалкина единственным образом.
Доказательство
1. Существование.
Åñëè f(x1; : : : ; xn) = 0 ) задающий ее полином константа 0. Пусть f(x1; : : : ; xn) 6= 0
|
|
|
W n |
1 |
|
n |
|
|||||||
f(x1; : : : ; xn) = |
f( 1 |
x1 |
xn = |
|
||||||||||
( 1 |
;:::; n) |
|
||||||||||||
f( 1 Ln |
|
;:::; )=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(x1 |
1 1):::( xn n 1 ) 1 |
1 |
||||||||||||
( ;:::; n) |
||||||||||||||
1;:::; )=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
K1 _ _ Km = K1 Km = (K1 1) (Km 1) 1 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
i |
|||
|
|
|
|
|
|
|
Ki = x11 xnn |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Николаева Екатерина Александровна (ТГУ) |
|
Алгебра логики |
|
|
|
|
|
23 / 50 |
||||||