Костюк - Основы программирования

Глава 3 Алгоритмы с одним основным циклом

3.1 Рекуррентные последовательности и алгоритмы

Определение 3.1. Числовая последовательность {xk} называется рекуррентной

где a0, a1, …, ap – 1 – константы, а f – функция.

Определение рекуррентной последовательности само является алгоритмом, кото­ рый надо просто "переписать" на Паскале. Этот алгоритм состоит из присваиваний начальных значений элементам x0, x1, …, xp – 1 и цикла вычисления последующих элементов xk . Доказательство правильности алгоритма строится на основе метода математической индукции или инварианта. Исследование эффективности алгоритма также несложно. Объем требуемой памяти определяется используемыми массивами. Трудоемкость определяется количеством выполнений операторов в цикле и обычно является линейной.

Пример 3.1. Вычисление элементов рекуррентной последовательности (c номера 0 по номер n), заданной формулой (3.1). Массив A с нумерацией элементов от 0 до p-1 содержит константы a0, a1, …, ap . Элементы последовательности будут за­ писываться в массив X. Функция f представляет собой формулу, в которой исполь­ зуются элементы массива X с номерами от k-p до k-1.

for k:=0 to p-1 do

X[k]:=A[k]; (3.1) for k:=p to n do

X[k]:= f(k,X);

Доказательство правильности этого алгоритма излишне, достаточно лишь убе­ диться в том, что алгоритм работает в строгом соответствии с определением рекур­ рентной последовательности.

Конец примера.

Заметим, что алгоритм (3.1) на самом деле является "полуфабрикатом", во вто­ рой строчке вместо f(k,X) надо записать конкретную формулу, зависящую от ве­ личин k,X[k-1],X[k-2],…,X[k-p]. Если требуется вычислить не все n эле­

42

ментов последовательности, а только n–й, то можно обойтись без массива, исполь­ зуя p+1 или даже p вспомогательных переменных.

Пример 3.2. Сумму каких-либо элементов ai можно представить рекуррентной

Здесь a(i) – формула вычисления i–го элемента суммы, зависящая только от i, поэтому достаточно всего одной дополнительной переменной S.

Конец примера.

Полином от x степени n можно представить в виде формулы Горнера:

где an, an–1, …, a1, a0 – коэффициенты полинома.

Пример 3.3. Из формулы (3.3) можно получить следующее рекуррентное соотно­ шение для вычисления полинома при заданном значении x и коэффициентов a0, a1, …, an :

В свою очередь, вычисления по рекуррентному соотношению (3.4) можно вы­ полнить алгоритмом:

Конец примера.

Формулу (3.3) можно трактовать как представление неотрицательного целого числа P(x) в системе счисления с целочисленным основанием x. Тогда алгоритм (3.3) позволяет вычислить значение числа при заданном основании x и наборе цифр a[n], a[n-1], …, a[0] в записи числа.

Пример 3.4. Из формулы (3.3) можно получить другое рекуррентное соотноше­ ние для вычисления цифр a0, a1, …, an неотрицательного целого числа Pn при задан­ ном значении основания x:

43

где операция mod есть вычисление остатка от деления, а div – деление с отбрасы­ ванием остатка. При этом подразумевается, что количество цифр n в представлении числа Pn заранее не известно. Вычисления по рекуррентному соотношению (3.5) можно выполнить алгоритмом:

Конец примера.

Иногда удается вывести формулу, непосредственно выражающую n-й элемент рекуррентной последовательности. Доказательство правильности такой формулы можно произвести методом математической индукции.

Пример 3.5. Сумма квадратов чисел от 1 до n задается следующей рекуррент­ ной последовательностью:

которая непосредственно вычисляется алгоритмом:

Как доказано в примере 2.3, для последовательности (3.6) справедлива форму­ ла (2.1):

Sn = 2n3 + 3n2 + n

6

Конец примера.

Пример 3.6. Числа Фибоначчи задаются следующей рекуррентной последова­ тельностью ранга 2:

n–й элемент которой вычисляется следующим алгоритмом:

44

золотым сечением. Заметим, что формулу (3.8) целесообразно применять при доста­ точно больших n. При этом вычисления необходимо выполнять над вещественны­ ми, т.е. приближенными числами, а результат округлять до целого. Кроме того, вто­ рое слагаемое по модулю меньше 0.5, и им можно пренебречь.

В некоторых случаях рекуррентная последовательность может иметь предел при n → ∞. Типичным примером могут служить бесконечные суммы, задаваемые соотно­ шениями:

45

в которых слагаемые f k стремятся к нулю при k → ∞. При этом сами слагаемые так­ же могут задаваться в виде рекуррентной последовательности:

для которой справедливо рекуррентное соотношение (3.9). Поделив выражение для

Вычисление суммы (3.11) с заданной точностью eps записано в виде алгоритма (3.8). Завершимость алгоритма следует из того, что fk → 0 при k → ∞. Доказатель­ ство правильности алгоритма легко провести методом инварианта.

S:=0; f:=x; k:=1;

while abs(f)>=eps do begin

S:=S+f; (3.8) f:=-f*x*x/(2*k*(2*k+1));

k:=k+1 end

Для суммы со знакопеременными слагаемыми, как, например, в формуле (3.11), вычисленное значение суммы будет отличаться от истинного значения предела не бо­ лее чем на величину абсолютного значения первого отброшенного слагаемого. Если же все слагаемые имеют один и тот же знак, то для определения того, сколько слагае­ мых необходимо суммировать, приходится выводить формулу так называемого «остаточного члена суммы».

Более того, сумма, содержащая слагаемые одного и того же знака, может даже не иметь предела (т.е. быть бесконечной). Для вычисления такой суммы можно напи­ сать алгоритм, доказать его завершимость, однако на самом деле это не будет иметь никакого отношения к самой сумме.

S:=0; k:=1;

while (1/k)>=eps do

begin

S:=S+1/k; (3.9) k:=k+1

end

конечен, причем вычисленное значение S будет также конечным. На самом деле S будет зависеть от eps. Например, при eps=10-4 вычисленное значение S≈9,79, а при eps=10-8 значение S≈19. Понятно, что вычислять подобные суммы не име­ ет никакого смысла.

Конец примера.

Вот еще несколько примеров рекуррентных последовательностей.

Пример 3.9. Рассмотрим рекуррентную последовательность для вычисления квадратного корня заданного числа, которая была известна еще Герону:

47

ны, и каждая последующая ошибка меньше предыдущей, по крайней мере, в 2 раза. Т.е. e1/e2 ≥ 2, e1/e3 ≥ 4, …, e1/ek ≥ 2k – 1, откуда:

Поэтому limk→∞ ek = 0 . Кроме того, начиная с s1 , все sk убывают.

Вычисление предела последовательности (3.14), начиная с s1 , с заданной точно­ стью eps записано в виде алгоритма (3.10).

Трудоемкость алгоритма, т.е. количество выполнений цикла, определяется фор­ мулой (3.16).

Конец примера.

Пример 3.10. Пусть на интервале [a, b] задана непрерывная функция y = f(x), причем значения функции на концах интервала f(a) и f(b) имеют разные знаки. Тогда на этом интервале функция имеет хотя бы один корень x0 , такой, что f(x0) = 0. Задача состоит в вычислении корня функции с заданной точностью ε / 2 , т.е. требуется найти такое z, что | x0 – z | ≤ ε / 2 . Дихотомический метод решения этой задачи состоит в том, что на каждом шаге интервал делится пополам и опреде­

49

Из этих соотношений можно построить такую последовательность пар {xi, yi},

Алгоритм (3.12) вычисляет последовательность (3.19) до тех пор, пока ее можно продолжать (пока обе переменных, как x, так и y, положительны).

x:=a; y:=b;

while (x>0)and(y>0) do

if x>=y then x:=x mod y (3.12) else y:=y mod x;

if x>0 then nod:=x else nod:=y

Трудоемкость алгоритма, т.е. количество выполнений цикла, определяется чис­ лами a и b. При этом наихудший случай будет, если при

fk ≥ max(a, b) > fk – 1,

– числа последовательности Фибоначчи, выполняется условие max(a, b) = fk , min(a, b) = fk – 1 .

Тогда k – количество выполнений цикла. Пренебрегая вторым слагаемым в (3.8) и логарифмируя левую и правую части, получим:

k » logα (5 fk ) = logα 2×log2 (5 fk ) ,

k £ logα 2 × log2 (5 max(a,b)) » 1.4 × log2 max(a,b) ,

где a = (1+ 5) / 2 .

Конец примера.

3.2 Алгоритмы с упорядоченными массивами

Числовой массив с расположенными по неубыванию или по невозрастанию зна­ чениями элементов называется упорядоченным. Использование таких массивов поз­ воляет создавать эффективные алгоритмы решения многих важных задач. Алгорит­ мы упорядочения (называемые также алгоритмами сортировки) позволяют превра­ тить неупорядоченный массив в упорядоченный. Примерами таких алгоритмов яв­ ляются алгоритмы (1.8), (2.6)–(2.8).

Задача слияния двух входных упорядоченных массивов A и B состоит в фор­ мировании упорядоченного массива C, содержащего все элементы из входных мас­

50

сивов. Можно переписать все элементы из массивов A и B подряд, а затем все упо­ рядочить, однако задачу слияния можно решить более эффективно.

Рассмотрим следующий алгоритм слияния для упорядоченных по неубыванию массивов. Вначале элемент A[1] сравнивается с элементом B[1] и меньший из них переписывается в массив C. Если меньшим был A[1], то на следующем шаге сравниваются A[2] и B[1], а если меньшим был B[1], то будут сравниваться A[1] и B[2] и т.д. При равенстве можно пересылать любой элемент. Если на оче­

редном шаге окажется, что из одного входного массива все элементы переписаны в C, то переписывается элемент из другого массива.

Пример 3.12. Алгоритм слияния. Входные массивы A и B содержат соответ­ ственно n1 и n2 элементов, результирующий массив C будет содержать n1+n2 элементов.

Завершимость алгоритма очевидна, цикл выполнится ровно n1+n2 раз, после его выполнения i=n1+n2+1. Если инвариант справедлив, то после выполнения

цикла в n1+n2 элементах массива C окажутся упорядоченные значения всех эле­ ментов из A и B.

Для доказательства инварианта необходимо проверить его истинность перед вы­ полнением цикла, а также истинность при однократном выполнении цикла. Второе доказывается рассмотрением четырех случаев:

1) условие в строчке 3 алгоритма истинно;