Костюк - Основы программирования

Глава 5 Алгоритмы с множествами, символьными строками и таблицами

5.1 Представление множеств

Пусть задано N некоторых объектов (множество объектов). В теории множеств рассматривают не сами объекты, а их совокупности. Если объекты перенумеровать числами от 1 до N, каждый объект будет определяться своим номером. При этом любым двум различным объектам будут приписаны различные номера. Все множе­ ство рассматриваемых объектов называют исходным множеством или универсу­ мом. Некоторые из объектов универсума можно каким-либо образом выделить. То­ гда образуется множество выделенных объектов, его называют просто множеством. Рассмотрим различные способы задания множеств.

Задание множества двоичным (битовым) массивом. Пусть N – количество объектов в универсуме. Необходимо определить массив M из N элементов, которые могут принимать два значения. Это может быть, например, целочисленный массив, в котором каждый элемент может принимать значение 0 или 1. Для некоторой эконо­

мии памяти его тип можно задать как byte. Массив может также быть описан, как логический (boolean), в нем каждый элемент может принимать значение false

или true. Тогда конкретное множество задается набором значений элементов мас­ сива M. Если M[i]=1 (или true), то i–й объект универсума присутствует в мно­ жестве, а если M[i]=0 (или false) – то нет. Рассмотрим выполнение основных

действий с массивом M.

92

Выполнение этих действий (кроме последнего) весьма эффективно, однако если N велико, то для массива M потребуется много памяти (N байт), независимо от того, какова мощность множества, даже если она ограничена некоторым числом L таким, что K≤L<<N.

Задание множества целочисленным массивом. В некоторых задачах количе­ ство объектов в универсуме ограничено большим, например, максимально возмож­ ным целочисленным значением, но мощность множества всегда ограничена некото­ рым числом L. Тогда можно определить целочисленный массив M из L элементов и целочисленную переменную K, которая определяет, сколько элементов из M за­ полнено в текущий момент. Значения M[1],...,M[K] задают номера объектов, принадлежащих множеству. Заметим, что в таком массиве не должно быть элементов с одинаковыми значениями! Если в массиве такие элементы имеются, то лишние можно выбросить алгоритмом (3.14).

Рассмотрим выполнение основных действий с массивом M, представляющим множество. Для того чтобы алгоритмы были более эффективны, номера объектов

можно упорядочить.

Проверка принадлежности объекта номер i множеству выполняется после­ довательным просмотром за K шагов или (при упорядоченности массива M) алго­ ритмом дихотомического поиска (3.16) за log2 K шагов.

Добавление объекта номер i в множество. Вначале последовательным про­

смотром за K шагов проверяется, не принадлежит ли уже объект номер i множе­ ству. Если нет, то выполняются действия: K:=K+1; M[K]:=i;

При упорядоченности массива M алгоритмом дихотомического поиска (3.16) за log2 K шагов проводится поиск. Пусть j – номер элемента в массиве M, полученный алгоритмом поиска (этот элемент больше или равен i). Если j>i, то элементы

M[j],...,M[K] сдвигаются вправо на 1 позицию, и выполняются действия:

K:=K+1; M[j]:=i;

Удаление объекта номер i из множества. Вначале последовательным про­

смотром за K шагов проверяется, принадлежит ли объект номер i множеству. Если

M[j]=i, то выполняются действия: M[j]:=M[K]; K:=K-1;

При упорядоченности массива M алгоритмом дихотомического поиска (3.16) за

Вычисление мощности множества не требует дополнительных действий (мощ­ ность множества равна K).

Задание множества списком номеров его элементов. Из номеров элементов универсума, принадлежащих конкретному множеству, можно сформировать не толь­

93

ко массив, но и список. Для этого можно использовать описания типа, приведенные в алгоритме (3.21). Рассмотрим выполнение основных действий с линейным списком, представляющим множество. Пусть на первый элемент этого списка указывает указа­ тель pb, а на последний – указатель pe. Пусть K – количество элементов множе­ ства. В рассматриваемых ниже алгоритмах предполагается, что множество не пу­

стое. Если этого гарантировать нельзя, то алгоритмы необходимо дополнить соот­ ветствующей проверкой: if pb<>nil then …

Проверка принадлежности объекта номер i множеству выполняется после­ довательным просмотром за K шагов. Упорядоченность списка иногда позволяет прекратить просмотр раньше, чем будет достигнут конец списка, однако не изменяет трудоемкость алгоритма в наихудшем. Алгоритм поиска для упорядоченного по воз­ растанию списка:

p:=pb;

while (p<>nil)and(p^.s<i) do (5.2) p:=p^.p;

if (p<>nil)and(p^.s=i) then НАЙДЕН else НЕТ

Добавление объекта номер i в множество. Вначале последовательным про­ смотром за K шагов проверяется, не принадлежит ли уже объект номер i множе­

ству. Если нет, то объект добавляется в начало списка: new(p); p^.s:=i; p^.p:=pb; pb:=p;

или в конец списка:

new(p); p^.s:=i; p^.p:=nil; pe^.p:=p; pe:=p;

При упорядоченности списка сначала отыскивается место для добавляемого элемента, а затем вставка, если такого элемента в списке нет:

Удаление объекта номер i из множества. Вначале последовательным про­ смотром за K шагов проверяется, принадлежит ли объект номер i множеству, и если принадлежит, то в каком элементе списка он расположен. После чего найден­ ный элемент удаляется. Эти действия иногда могут быть несколько эффективнее для упорядоченного списка: в алгоритме (5.4) просмотр элементов в списке заканчивает­

94

ся не только тогда, когда искомый элемент найден внутри списка, но и тогда, когда очередной элемент списка в поле s будет содержать значение, большее i.

if pb^.s=i then {удаление начального злемента из списка} begin p:=pb; pb:=pb^.p; free(p) end

else begin p:=pb;

while (p<>nil)and(p^.s<i) do

begin p1:=p; p:=p^.p end; (5.4) if (p<>nil)and(p^.s=i) then begin

{ удаление злемента внутри списка} p1^.p:=p^.p; free(p)

end end

Вычисление мощности множества выполняется последовательным просмот­ ром всех элементов списка:

отсутствуют в B, и все элементы, которые имеются в B, но отсутствуют в A и толь­ ко эти элементы.

Рассмотрим алгоритмы выполнения операций для описанных способов представ­ ления множеств.

Пример 5.1. Алгоритмы вычисления операций над множествами, заданными двоичными массивами A и B (множества определены на одном и том же универсу­ ме из N элементов). Размер массивов A и B должен быть равен N. Результат в массиве C (также размером N элементов).

Алгоритм объединения множеств:

96

результата. Если же этого гарантировать нельзя, то в алгоритмах следует предусмот­ реть соответствующие проверки.

Алгоритм объединения множеств (5.10). Количество элементов, которое может быть записано в массиве C, находится в пределах от max(K1, K2) до K1+K2.

Алгоритм пересечения множеств (5.11). Количество элементов, которое может быть записано в массиве C, не превышает min(K1, K2).

Если множества заданы неупорядоченными массивами, то прямое выполнение рассмотренных операций потребует алгоритмов с двойным вложенным циклом, име­ ющих трудоемкость K1*K2. Поэтому для выполнения какой-либо операции целесо­ образно предварительно упорядочить массивы (например, сортировкой по методу слияния) за K1*log2 K1+K2*log2 K2 шагов, а затем применить соответствующий ал­ горитм из примера 5.2.

Пример 5.3. Алгоритмы вычисления операций над множествами, заданными упорядоченными списками. Алгоритмы строятся на основе алгоритма слияния двух упорядоченных по возрастанию линейных списков (3.24), но, в отличие от него, со­ здают выходные списки из новых элементов.

Алгоритм объединения множеств:

new(p3); pr:=p3; pq:=p1; pt:=p2;

{создан дополнительный элемент выходного списка} while (pq<>nil)or(pt<>nil) do

{цикл, пока оба входных списка не просмотрены} begin new(ps); pr^.p:=ps; pr:=ps;

if pt=nil then {создан новый элемент выходного списка} begin pr^.s:=pq^.s; pq:=pq^.p end

else if pq=nil then (5.12) begin pr^.s:=pt^.s; pt:=pt^.p end

else if pq^.s<pt^.s then

begin pr^.s:=pq^.s; pq:=pq^.p end

97

else if pq^.s>pt^.s then

begin pr^.s:=pt^.s; pt:=pt^.p end

else begin pr^.s:=pt^.s;pt:=pt^.p;pq:=pq^.p end end;

pr^.p:=nil; pr:=p3; p3:=p3^.p; free(pr);

Вначале в алгоритме создается дополнительный пустой элемент выходного списка, а затем в цикле просматриваются очередные элементы входных списков, как в алгоритме объединения множеств (5.10). После завершения цикла дополнительный элемент выходного списка удаляется.

Указатели p1 и p2 указывают на начальные элементы двух входных списков, p3 указывает на начальный элемент выходного создаваемого списка. При этом до­

пускается, чтобы как входные списки, так и выходной список были пустыми (тогда значение соответствующего указателя равно nil).

Алгоритм пересечения множеств (5.13). Здесь также вначале создается дополни­ тельный пустой элемент выходного списка, который в конце удаляется. Проверки в цикле аналогичны проверкам в алгоритме (5.11).

new(p3); pr:=p3; pq:=p1; pt:=p2;

{создан дополнительный элемент выходного списка} while (pq<>nil)and(pt<>nil) do

{цикл, пока оба входных списка не пусты} if pq^.s<pt^.s then pq:=pq^.p

else if pq^.s>pt^.s then pq:=pq^.p (5.13)

else begin {создан новый элемент выходного списка} new(ps); pr^.p:=ps; pr:=ps; pr^.s:=pt^.s;pt:=pt^.p;pq:=pq^.p

end;

pr^.p:=nil; pr:=p3; p3:=p3^.p; free(pr);

{удален дополнительный элемент выходного списка}

Трудоемкость рассмотренных алгоритмов не превышает суммарной длины вход­ ных списков.

Алгоритмы вычисления разности и симметрической разности множеств, задан­ ных списками, читателю предлагается написать самостоятельно.

Конец примера.

5.2 Алгоритмы обработки символьных строк

Символьную строку можно описать в программе, как одномерный массив симво­ лов (имеющих тип char), и тогда можно выполнять действия над отдельными сим­ волами, как элементами массива. Кроме того, в Паскале имеется специальный тип string, с переменными такого типа можно производить операции целиком, без вы­

98

деления отдельных символов. Строки можно присваивать, склеивать (операцией +), а также сравнивать (операциями “=”, “<” и т.п.). При описании строки выделяется па­ мять для размещения строки с некоторой максимальной длиной (до 255 символов в Turbo Pascal), а при выполнении операций со строкой ее текущая длина может изме­ няться. Функция length выдает длину строки в данный момент.

Сравнение отдельных символов, каждый из которых занимает один байт, произ­ водится в соответствии с их внутренними кодами, т.е. порядковыми номерами в ко­ довой таблице. Например, при использовании кода ASCII, код символа “+” равен 43, код символа “(” равен 40. Коды символов, изображающих цифры “0”, …, “9” имеют идущие подряд номера от 48 до 57, а коды заглавных букв латинского алфавита строк имеют номера в диапазоне от 65 до 90. Сравнение двух строк символов производится

влексикографическом порядке по следующим правилам:

1)вначале сравниваются между собой первые символы обеих строк, затем вто­ рые символы и т.д.;

2)сравнение продолжается до первого несовпадения двух сравниваемых симво­

лов, при этом большей считается та строка, код очередного сравниваемого символа

укоторой больше;

3)если первая строка полностью совпадает с началом более длинной второй строки, то первая строка считается меньшей.

Иногда при сравнении строк некоторые различные символы требуется считать равными, например, заглавные и строчные буквы. Для такого сравнения можно ис­

пользовать таблицу перекодировки, которая описывается как одномерный целочис­ ленный массив констант T с нумерацией от 0 до 255. Значение элемента T[d] должно быть равно новому коду для символа, имеющего код d. Получить числовой

код символа, заданного в переменной типа char, можно функцией ord. Тогда

вместо непосредственного сравнения двух символьных переменных c1 и c2 необ­ ходимо сравнивать T[ord(c1)] и T[ord(c2)].

Пример 5.4. Сравнение символьных строк с отождествлением заглавных и строчных букв. Отождествляются буквы для латинского и русского алфавитов. Кро­ ме того, в русском алфавите считаются равными буквы “е” и ”ё”. Таблица перекоди­ ровки для кода ASCII (DOS) будет следующей (см. также приложение В):

const T:array[0..255]of byte=

( 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10,11,12,13,14,15, 16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,

32,33,34,35,36,37,38,39,40,41,42,43,44,45,46,47,

48,49,50,51,52,53,54,55,56,57,58,59,60,61,62,63,

64,65,66,67,68,69,70,71,72,73,74,75,76,77,78,79,

80,81,82,83,84,85,86,87,88,89,90,91,92,93,94,95, 96,65,66,67,68,69,70,71,72,73,74,75,76,77,78,79, (5.14)

80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87,

100

В ряде задач используются массивы элементов типа string (строки символов). Такие массивы можно упорядочивать, в них можно производить поиск. Если при этом использовать стандартные операции сравнения строк, то алгоритмы сортировки массивов строк и алгоритмы поиска внешне ничем не будут отличаться от аналогич­ ных алгоритмов для числовых массивов. Если же требуется сравнение с отождествле­ нием заглавных и строчных букв, то все операции сравнения в алгоритмах необходи­ мо заменить вызовами функции scomp.

Одной из важных задач обработки символьных строк является контекстный поиск. Задача контекстного поиска состоит в том, что в строке (тексте) необходимо найти подстроку, совпадающую со строкой-образцом.

Рассмотрим простой алгоритм контекстного поиска. Пусть S – текст длиной n символов, d – строка-образец. Вначале ищется символ текста S[i], равный перво­

му символу образца d[1]. При совпадении сравниваются следующие символы: S[i+1] и d[2], S[i+2] и d[3] и т.д. до конца образца. Если для всех пар об­

наружится совпадение, то поиск завершится успешно, если нет, то i увеличится на единицу, и сравнение будет продолжаться. В общем случае возможны три ситуации:

1)нет ни одного полного совпадения с образцом;

2)есть только одно совпадение с образцом;

3)существует более одного совпадения с образцом, при этом возможно даже их перекрытие, как, например, в тексте “мамама” для образца “мама”.

Пример 5.5. Контекстный поиск в символьном массиве S длиной n по образ­ цу-строке d длиной m. Результат: i – номер символа S[i], совпадающего с пер­ вым символом образца. Если полного совпадения нет, то i=0.

Алгоритм (5.16) находит только одно (первое) совпадение, но его нетрудно изме­ нить для поиска всех совпадений.

Алгоритм имеет трудоемкость в наихудшем n ∙ m. Действительно, так как несов­ падение может обнаружиться при сравнении последнего, m–го символа образца, то для перехода от сравнения образца с i–м символом текста к сравнению с (i+1)–м символом текста потребуется от одного до m сравнений символов.

m:=length(d); p:=0; i:=1; while (p=0)and(i<=n-m+1) do

if (d[1]<>S[i]) then i:=i+1 else begin j:=1;

while (j<m)and(d[j+1]=S[i+j])do (5.16) j:=j+1;

if j=m then p:=1 else i:=i+1 end;

if p=0 then i:=0;

Конец примера.