Vektornaya_algebra
.pdfФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Крыштоп В.Г.
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
По теме: «Введение в курс физики. Начала векторной алгебры»
для абитуриентов и студентов первого курса естественно научных факультетов
Р о с т о в – н а – Д о н у
2 0 0 8 г.
Методические указания разработаны кандидатом физикоматематических наук, доцентом кафедры общей физики В.Г. Крыштопом
Печатается в соответствии с решением кафедры общей физики физического факультета ЮФУ, протокол № 15 от 03.06.2008 г.
2
ВВЕДЕНИЕ
Физика - это основной раздел естественно научных знаний об окружающем нас мире. Физика как наука занимается установлением и описанием простейших (самых элементарных) взаимодействий в природе. В то же время такие естественнонаучные дисциплины, как химия, биология, геология и др., используют более сложные взаимодействия в своих исследованиях. Но только познав простейшие закономерности, можно уверенно себя чувствовать в исследовании других разделов науки. Это все и определяет физику как естественнонаучную основу знаний человечества.
Предлагаемое вниманию читателя учебное пособие предназначено для самостоятельной активной подготовки старших школьников по физике. Предполагается, что работая с данным пособием, читатель будет пользоваться как основной (учебники физики средней школы), так и дополнительной литературой по курсу элементарной физики, в которых читатель найдет нужный теоретический материал.
Для лучшего усвоения материала читать одни и те же разделы не менее двух раз. При первом чтении следует познакомиться с содержанием раздела, при повторном - выписывать основные положения, а затем обязательно устно пересказывать прочитанный материал. В каждом вопросе необходимо уметь выделить три момента:
1)вступление (с чего начинается ответ на вопрос);
2)главную или основную часть;
3)заключение (это прежде всего следствия и выводы, вытекающие из глав-
ной части).
Для лучшего усвоения следует составлять конспект; при этом в него следует записывать лишь самое главное: выводы формул, краткое и лаконичное пояснение сущности физического явления или процесса, формулировки законов, рисунки, схемы, подтверждающие либо иллюстрирующие изучаемый материал.
После усвоения теоретического материала учащийся может приступить к решению задачи. Решение задач по физике - хорошее средство применения теории на практике, причем, с одной стороны сам процесс решения помогает более глубоко и сознательно овладеть изучаемым материалом, с другой - знание теоретического материала - есть непременное условие умения решать задачи.
Методические указания к каждой теме и примеры решения задач данного пособия преследуют следующее:
1)пояснить применения изложенных методов;
2)углубить понимание физических законов;
3)развить умение рассуждать и сочетать знания из различных областей знаний физики.
3
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
Пытаясь понять и объяснить определенный класс явлений, ученые часто прибегают к использованию модели. При этом под моделью понимается некоторый мысленный образ явления, опирающийся на уже известные понятия и позволяющий построить полезную аналогию. Например: а) материальная точка - всякое тело, обладающее массой, размерами которого в данной задаче можно пренебречь или более точно – математическая точка, обладающая массой; б) идеальный газ – это газ, состоящий из молекул, которые являются материальными точками и не обладают потенциальной энергией взаимодействия.
Ни одна модель не может быть безупречна, но может быть очень полезной и часто приводит к важным теориям (например, постулаты Бора для модели атома Резерфорда); однако не следует смешивать понятия модели или теории с реальной системой или самими явлениями.
Законы – некоторые краткие, но достаточно общие утверждения относительно характера явлений природы, которые выдержали экспериментальную проверку в широком классе наблюдаемых явлений.
Для количественного описания физических явлений необходимо ввести понятие физических величин, которые количественно определяются в сравнении с некоторыми однотипными величинами, условно принятыми за единицу данной величины (например: а) 1 метр это приблизительно 1/10000000 от 1/4 земного меридиана, проходящего через Париж, или более точно, длина, равная 1650763,73 длин волн в вакууме излучения, соответствующего переходу между уровнями 2p10 и 5d3, атома криптона-86; б) Сименс – электрическая проводимость проводника сопротивлением в 1 Ом).
Из всего многообразия физических величин необходимо выбрать некоторые (минимальное количество) в качестве основных, а все остальные считать производными.
Сейчас в мировой практике наибольшее распространение получила Международная система единиц физических величин – СИ. Она содержит 7 основных физических величин:
Таблица 1 Основные физические величины
№ |
Название физической ве- |
|
Единица измерения |
Обозначение |
п/п |
личины |
|
|
м |
1 |
длина |
1 |
метр |
|
2 |
масса |
1 |
килограмм |
кг |
3 |
время |
1 |
секунда |
с |
4 |
сила тока |
1 |
Ампер |
А |
5 |
температура |
1 |
Кельвин (1° Цельсия) |
К |
6 |
количество вещества |
1 |
моль |
µ |
7 |
сила света |
1 |
кандéла |
кд |
|
|
|
4 |
|
Все остальные физические величины определяются через основные величины: например, скорость (производная физическая величина) определяется как отношение перемещения тела ко времени, за которое это перемещение произошло и измеряется в (м/с). Основные величины по определению не могут быть выражены через другие величины.
Когда мы говорим о размерности величины, мы имеем в виду основные единицы, с помощью которых можно построить данную величину. Размерность площади, например, всегда равна квадрату длины (сокращенно [l2]; квадратные скобки здесь и далее обозначают размерность); скорость (υ) может измеряться в единицах км/ч, м/мин, м/с и т.д., но размерность ее всегда равна размерности длины [l], деленной на размерность времени [t], т.е. имеем [υ] = [l] / [t].
При определении размерности величины обычно пользуются размерностями основных, а не производных величин. Например, сила, как мы увидим ниже, имеет размерность массы [m], умноженной на ускорение [l/t2], т.е. ее размерность[m] [l] / [t2]. Решение любой задачи по физике содержит и проверку размерности окончательной физической величины. Проверка размерностей позволяет избежать грубых ошибок, поэтому прежде чем вычислять значение величины по полученной формуле, необходимо вначале сделать проверку размерности. Допустим, в результате решения мы получили некоторую расчетную форму-
лу, например: t =υg0 + τ2 + gHτ . Проверка размерности этой формулы требует, чтобы
все слагаемые были выражены в одних и тех же единицах, только тогда их можно складывать, т.е. [υ[g0]]=[τ]= [g[H] [τ]] и в самом деле, если [υо] = м/с; [τ] = с; [H] = м;
2 |
υ0 |
|
|
м с2 |
|
|
H |
|
|
м |
|||
[g] = м/с |
; то |
|
|
= |
|
= с; |
|
|
|
= |
|
|
|
g |
с м |
|
|
м |
|
||||||||
|
|
|
|
|
gτ |
|
|
с |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с2 |
=с; и можно написать, что[t] = с.
Все физические величины, изучаемые в элементарной физике можно разделить на два класса: скалярные и векторы.
Скалярной физической величиной называется физическая величина, для задания которой необходимо задать лишь число, например, время (t), масса (m), температура (T) и др.
Векторной физической величиной называется физическая величина, для задания которой необходимо задать число и направление действия этой величины, например, ускорение ( ar), скорость (υ ), сила ( F ) и др. Векторные величины обозначаются либо стрелочкой сверху над символом физической величины, либо полужирным шрифтом.
Для правильного и быстрого понимания и описания некоторых физических процессов необходимо уверенное владение основными операциями из векторной алгебры.
Вспомним основные операции векторной алгебры.
5
1) Вектор
Для наглядного изображения векторов служат геометрические вектора, т.е. прямолинейные отрезки, имеющие не только определенную длину, но и определенное направление. Поскольку вектор есть направленный отрезок прямой, иногда,
его обозначают двумя буквами. На первом месте стоит обозначение начала отрез- |
||||
ка, на втором месте конца, например: |
uuur |
uuuur |
uuur |
и т.д. На чертеже векторы |
AB, |
MN, |
PQ, |
изображаются отрезками, снабженными стрелками, указывающими их направление (рис. 1)
|
M |
uuur |
ar |
|
MN |
|
|
N
Рис. 1
Вектор полностью определяется заданием его длины (модулем) и направлением. Направление обычно определяется углом между вектором и осью либо углом между векторами.
Вектора могут быть
¾свободными (т.е. допускают параллельный перенос вектора в любую точку пространства),
¾скользящими (т.е. допускают скольжение (перенос) вектора вдоль прямой, совпадающей с вектором),
¾связанными (т.е. для таких векторов любые переносы запрещены);
¾коллинеарными два вектора (или более) называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых;
¾компланарными три вектора (или более) называются компланарными, если они лежат в одной плоскости.
Для векторов на плоскости имеет место следующие свойство (без доказательства):
Любой вектор на плоскости можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам этой плоскости единственным образом.
Для векторов в пространстве имеет место следующее свойство (без доказательства):
Любой вектор в пространстве можно разложить по трем данным некомпланарным векторам единственным образом.
Отметим, что разложение вектора на плоскости по двум неколлинеарным векторам и вектора в пространстве по трем некомпланарным векторам широко используется в физике, например, в задачах на движение тела брошенного под углом к горизонту; в задачах на применение закона сохранения импульса, в задачах динамики и статики, а так же во многих других.
6
2) Умножение вектора ( c ) на скаляр (а).
В этом случае вектор b = acr |
будет сонаправлен с вектором c, а его модуль |
||
в а раз больше модуля вектора c : |
|
, а = 2,5; тогда вектор b = acr |
|
Пример 1. Нам даны вектор |
c |
; стал |
в два с половинной раза длиннее, сохранив прежнее направление
Пример 2. Даны вектор cv и а = -1; тогда вектор b = acr , т.е. умножение вектора c на (-1) меняет направление вектора на противоположное, т.е. вектор b по модулю равен вектору c , а направление его противоположно. Отсюда становится очевидным, что вектора всегда положительны.
3) Сложение векторов. |
|
|
|
Существует два способа сложения двух векторов: |
|
|
|
а) правило параллелограмма. |
|
r |
r |
В этом случае суммарный вектор равен вектору, |
a |
ar a |
+b |
совпадающему с диагональю параллелограмма, по- |
|
|
|
строенного на векторах ar и b из общего начала |
|
b |
|
(рис.2). |
|
b |
|
Еще один пример показан на рис. 3. |
|
Рис.2 |
|
|
|
|
ar |
a |
ar + b |
b |
|
b |
Рис. 3
б) правило треугольника.
В этом случае от конца вектора a как от начала откладывается вектор b , и тогда суммарный вектор – это вектор, проведенный из начала первого вектора к концу второго вектора (рис.4а и 4б)
|
|
b |
|
b |
|
|
ar |
|
|
|
|
|
|
ar |
r |
b |
|
r |
r |
|
b |
r |
r |
a |
+ b |
||
|
a |
+ b |
|
|
|
|
|
|
|
a |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
Рис. 4 |
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
Это правило позволяет проще, чем правило параллелограмма, получить сумму трех и более векторов (см., например, рис. 5). В этом случае правило треугольни-
|
|
|
|
b |
ar |
b |
c |
|
r |
|
|
a |
||
|
|
|
||
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
ar +b + cr |
Рис. 5
ка называют правилом многоугольника
4) Вычитание векторов, b − ar.
Вектор ( −ar ) есть вектор, коллинеарный с вектором a ; модули этих векторов одинаковы, но направления их противоположны, сумма их ar + ( −ar ) = 0 Векторы ar и ( −ar ) называют равно-противоположными. ( 0 - это, так называемы, нуль-вектор, т.е. вектор, модуль которого равен нулю, а направление не опреде-
лено) |
|
r |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Действие вычитания векторов |
можно заменить действием сложения вектора |
|||||||||||
b |
− a |
|||||||||||
b и вектора ( −ar ), т.е. эта разность равна |
b + ( −a ). Рис. 6(а) |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
r |
|
r |
−a |
|
a |
|
|
|
b – a |
|
|
a |
b |
− a |
|
|
|
|
|
|||||
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
(а) |
|
|
|
|
(б) |
|
||
|
Рис. 6. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Из данного правила свойств суммы векторов вытекает еще одно правило |
||||||||||||
вычитания двух векторов: |
Чтобы из вектора |
b вычесть вектор |
ar, необходимо |
|||||||||
построить эти вектора из общего начала, тогда вектор d , |
проведенный от конца |
|||||||||||
r |
|
|
|
|
|
|
= |
r |
r |
. Рис. 6(б). |
|
|
вектора a к концу вектора b , и будет вектором разницы: d |
b |
− a |
|
|||||||||
Следствие. Если на векторах a |
и b |
построить |
параллелограмм, |
то |
||||||||
вектор cr, построенный на диоганали исходящей из общего начала векторов a |
и |
|||||||||||
b , является суммой векторов ( c = a + b ), |
а вектор d , построенный на другой |
диагонали является разностью векторов. На приведенном чертеже (рис. 7) этот вектор равен разности веторов b и a ( d = b – a ).
8
ar cr
о |
dr |
|
b |
Рис. 7.
5) Разложение вектора на составляющие.
Если заданы два неколлинеарных направления, то любой вектор d , лежащий в одной плоскости с заданными направлениями, можно представить единственным способом в виде суммы двух векторов: d = d1 + d2 , где векторы d1 и d2 коллинеарные с заданными направлениями.
Для разложения вектора d необходимо через его начало провести прямые параллельные заданным направлениям; затем проделать такую же операцию для конца вектора d . В образовавшемся параллелограмме, диагональю которого явля-
ется вектор d , стороны этого параллелограмма являются искомыми векторами d1 и dr2 .
Например, для разложения d по заданным направлениям ab и ce построим a'b'|| ab и c'e'|| ce, затем через конец вектора d проводим a''b''|| a'b' и c''e''|| c'e'. В
образовавшемся параллелограмме вектора, построенные из общего начала на сто-
ронах ОВ и ОЕ являются искомыми векторами d1 и d2 , соответственно, тогда dr1 + dr2 = dr. (рис.8).
|
|
|
e' |
e'' |
|
|
|
|
|
D |
|
e |
|
a'' |
E |
b'' |
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
d2 |
|
|
|
|
|
|
|
B |
c |
a |
b |
a' 0 |
d1 |
b' |
|
|
|
c' |
|
c'' |
Рис.8
6) Проекция вектора на ось.
Проекцией (ах) вектора ar на ось Х называется длина отрезка отсекаемого на этой оси перпендикулярами, проведенными через концы вектора ar, взятая со знаком плюс (+), если направление от проекции начала вектора на ось к проекции его конца совпадает с положительным направлением оси, и со знаком минус (–) – в противоположном случае (рис. 9).
9
Обозначим угол между вектором и осью ОХ через α; тогда проекцию вектора a можно вычислить по формуле a x = ar cosα и соответственно cx = crcosα1 . При-
чем в этом случае соблюдается и правило знаков, т.е. если 0< α < π/2 , то cosα > 0 , а если π/2 < α1 < π, то cosα1 < 0 .
|
ar |
b |
|
c |
|
||
|
|
|
α1 |
|
|||
|
α |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
Пр ar = ax > 0 |
bx = 0 |
Пр |
. cr= cx < 0 |
X |
Рис. 9.
Совершенно очевидно, что если раскладывать вектора по двум взаимно перпендикулярным направлениям, например, по осям X и Y декартовой системы, то составляющие вектора по осям X и Y по модулю совпадают с проекцией вектора на соответствующую ось (рис. 10).
Поэтому принято записывать это следующим образом:
ar=arx +ary , где arx и ary – составляющие вектора a . Однако, этой же записи можно придать другой вид, если ввести понятие единичного вектора вдоль оси.
Y
(прar)у = ау |
ar |
ar |
|
2 |
|
||
|
|
ar1 |
|
О |
|
r |
Х |
|
|
(прa )х = ах |
|
Рис. 10
Единичным вектором оси (ортом оси) называется вектор er, направленный в положительную сторону оси, модуль которого равен 1, т.е. er = e =1.
Орт оси OX обозначают erx , а орт оси OY – ery .
Теперь |
составляющие |
вектора a по осям ОX |
и ОY можно записать |
arx = ax erx ; ary |
= ay ery , где ax и |
ay – проекции вектора a |
на соответствующие оси. |
Следовательно, любой вектор можно всегда задать через его проекции на оси де-
10