Шелехова Л.В. Математические методы (в схемах)

ГЛАВА 2. ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ ПРОВЕРКИ СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ

2.1. ПОНЯТИЕ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ГИПОТЕЗЫ

Использование математических методов в психолого-педагогических исследованиях предполагает создание формального математического аппарата, пригодного для изучения педагогических явлений и процессов на специальном объекте – математической модели, являющейся промежуточным звеном между исследователем и предметом исследования.

Математическая модель это

приближённое описание какого-либо явления или процесса, выраженное с помощью математической символики

Под математической моделью в психолого-педагогическом исследовании чаще всего понимают уравнение или систему уравнений, которые отражают связи между наиболее существенными показателями изучаемого объекта и строятся на основе эмпирических (статистических) данных. Поэтому, изучая модель, можно получить новые данные о предмете исследования, которые в обычных условиях определить достаточно сложно, а в некоторых случаях и невозможно.

Важным понятием математического моделирования является понятие адекватности модели (соответствие модели моделируемому объекту или процессу), которое в определенной мере условное понятие, так как полного соответствия математической модели реальному объекту не может быть. Имеется в виду адекватность не вообще, а только по тем свойствам, которые считаются существенными.

сопоставления результатов, полученных с использование данной модели, с данными, полученными из других источников

30

Построение математической модели предполагает количественное описания предмета исследования, формулирование статистической гипотезы и ее проверки.

формулируется на основе выборки

появляется одновременно с ведущей идеей исследования и ею определяется

возникает на основании известных знаний, но выходит за их пределы

позволяет систематизировать предположения исследователя и представить их в чётком и лаконичном виде

экспериментально и практически проверяемо

ВИДЫ СТИТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ

указывает некоторое множество распределений, которое обладает определенными свойствами (сложная гипотеза состоит из конеч-

сложная ного или бесконечного числа простых гипотез, при этом указывается некоторая область вероятных значений параметра)

нет никаких допущений о конкретном виде непараметрическая закона распределения

Выделяют основную (нулевую) и альтернативную статистические гипотезы.

Нулевая гипотеза это

предположение об отсутствии взаимосвязи или корреляции между исследуемыми переменными

31

это

Альтернативная гипотеза

предположение, принимаемое в случае отклонения нулевой гипотезы, которое содержит утверждение о наличии связи между изучаемыми переменными

Нулевая и альтернативная гипотезы образуют полную группу несовместных событий: если одна из них верна, то другая является ложной, и наоборот, поэтому отклонение одной из них влечет принятие другой.

Нулевая и альтернативная гипотезы могут быть направленными и ненаправленными.

Направленные гипотезы формулируются, если надо доказать, что:

1)в одной из групп индивидуальные значения испытуемых по какомулибо признаку выше, а в другой ниже;

2)в одной из групп под влиянием каких-то экспериментальных воздействий произошли более выраженные изменения, чем в другой группе.

Ненаправленные гипотезы формулируются, если надо доказать, что различаются формы распределения признака в двух различных группах испытуемых.

2.2.СТАТИСТИЧЕСКАЯ ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ

это

Статистическая проверка гипотез

процедура обоснованного сопоставления высказанной гипотезы с имеющейся выборкой, осуществляемая при помощи того или иного статистического критерия

32

это

Статистический критерий

инструмент определения уровня статистической значимости

Формулу расчета эмпирического значения критерия по выборочным статистикам

Правило (формулу) определения числа степеней свободы df

Теоретическое распределение для данного числа степеней свободы

Правило соотнесения эмпирического значения критерия с теоретическим распределением для заданного числа степеней свободы, которое позволяет определить значение р-уровеня

Центральными понятиями статистического критерия являются число степеней свободы, р-уровень значимости и правило принятия статистического вывода.

это

Число степеней свободы

количество возможных направлений изменчивости признака

Число степеней свободы, как правило, линейно зависит от объема выборки п, а также от числа признаков k или их градаций (например, df=n-k-1) – чем больше эти показатели, тем больше число степеней свободы. Однако надо отметить, что нет универсальной формулы для определения числа степеней свободы для всех возможных случаев, поэтому статистический критерий содержит формулу для расчета числа степеней свободы.

это

Статистическая значимость (р-уровень значимости)

вероятность получения результата выборочного исследования, при котором верна нулевая статистическая гипотеза для генеральной совокупности

Чем меньше р-уровень, тем больше оснований для того, чтобы отклонить Но в пользу H1 и подтвердить исходную экспериментальную гипотезу.

Таблицы критических значений содержат квантили теоретического распределения, соответствующие наиболее важным критическим значениям р- уровня (0,1; 0,05; 0,01 и т.д.) для различных чисел степеней свободы. Для вычисленного числа степеней свободы по соответствующей статистическому критерию таблице определяются соответствующие ближайшие критические значения и р-уровни.

33

ПРАВИЛО ПРИНЯТИЯ СТАТИСТИЧЕСКОГО ВЫВОДА

на основе полученных экспериментальных данных вычислить эмпирическое значение критерия Кэмп

по соответствующим критерию таблицам найти критические значения К1кр и К2кр, которые отвечают уровням значимости в 5% и 1%

расположить эмпиричское значение критерия Кэмп и критические зна- чения К1кр и К2кр на оси значимости (ась абсцисс Ох декартовой системы координат, на которой выделено три зоны: левая (незначимости),

средняя (неопределенности), правая (значимости))

Исключения: G–критерий знаков (дляn 100), критерий Т–Вилкоксона и критерий U– Манна-Уитни. Для них устанавливаются обратные соотношения.

сформулировать принятие решения

если Кэмп находится в зоне незначимости, то принимается гипотеза Н0

об отсутствии различий

если Кэмп находится в зоне неопределенности, то есть вероятность принятия ложного решения (необходимо увеличить выборку или вос- пользоваться другим критерием)

если Кэмп находится в зоне значимости, то гипотеза об отсутствии различий Н0 отклоняется и принимается гипотеза Н1 о наличии различий

34

Рассмотрим возможные исходы принятия решения в зависимости от действительного положения дел:

ХАРАКТЕРИСТИКИ КРИТЕРИЯ

Ошибка

Исследование проводится, как правило, на выборке, а вывод делается в отношении генеральной совокупности, поэтому, принимая решение, всегда допускается вероятность его ошибочности. В результате статистической проверки гипотезы могут быть допущены ошибки двух родов:

а) Ошибка первого рода состоит в том, что будет отвергнута нулевая гипотеза, в

то время как она верна. Вероятность ошибки первого рода – с .

а с

б) Ошибка второго рода состоит в том, что будет принята нулевая гипотеза, в то

время как она неверна. Вероятность ошибки второго рода – b . b d

Мощность критерия (специфичность) Это вероятность того, что правильно отвергнута нулевая гипотеза.

Мощность зависит от: 1) уровня значимости; 2) альтернативной гипотезы. Мощность возрастает с ростом объема выборки и убывает с уменьшением уровня значимо-

сти. Мощность критерия – d . b d

тельное заключение состоит в том, что интересующую нас гипотезу объявляют ложной, когда на самом деле она истинна. Другими словами, когда допускается ошибка первого

рода. Доля ложно отрицательных – .

рого рода. Доля ложно положительных – b . a b

35

Среди данных характеристик три являются независимыми, а остальные могут быть вычислены через них.

Практическая и познавательная ценность статистической проверки гипотезы определяется ее адекватностью изучаемым сторонам объекта, а также тем, насколько правильно выбран метод для его обоснования, т.е. насколько правильно построено психолого-педагогическое исследование.

2.3. КЛАССИФИКАЦИЯ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИХ ЗАДАЧ,

РЕШАЕМЫХ С ПОМОЩЬЮ СТАТИСТИЧЕСКИХ КРИТЕРИЕВ

Психолого-педагогические задачи, решаемые с помощью методов математической статистики, условно можно разделить на следующие группы: 1) выявление различий в уровне исследуемого признака; 2) оценка сдвига значений исследуемого признака; 3) выявление различий в распределении признака; 4) выявление степени согласованности изменений.

ПРИ ВЫБОРЕ СТАТИСТИЧЕСКОГО КРИТЕРИЯ НЕОБХОДИМО УЧИТЫВАТЬ

тип переменных (признаков)

вид шкалы (номинативная, порядковая, интервальная и отношений), которую используют при измерении психолого-педагогических показателей

тип распределения данных, который получился в исследовании: а) нормальное распределение (в этом случае используют параметрические критерии); б) тип распределения данных не известен (не имеет значения) (применяют непараметрические критерии)

количество элементов в выборке (при небольших объемах выборки испы- туемых целесообразно использовать непараметрические критерии, которые дают большую достоверность выводам, независимо от того, получено ли в

исследовании нормальное распределение данных или нет)

тип исследовательской задачи (для непараметрических методов: выявление различий в уровне исследуемого признака; оценка сдвига значений исследуемого признака; выявление различий в распределении признака; выявле-

ние степени согласованности изменений)

формулировка основной (нулевой) и альтернативной статистических гипотез

ограничения, которые имеет каждый критерий

Учитывая вышесказанное, можно предложить следующую классификацию исследовательских задач и статистических критериев, предназначенных для их решения, учитывающую условия применимости критерия (тип шкалы, количество выборок и замеров) и соответствующие формулировки нулевой и альтернативной статистических гипотез.

36