Шелехова Л.В. Математические методы (в схемах)

0,05 гипотеза о нормальности распределения принимается.

Вкачестве показателя точности модели используем среднюю абсолютную ошибку:

5.3. НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ РЕГРЕССИИ

В психолого-педагогических исследованиях соотношения между изучаемыми признаками, как правило, выражаются нелинейными функциями.

Классы нелинейных регрессий

Пример. Была обследована выборка из 10 респондентов по степени владения двумя коммуникативными навыками: активное слушание и снижение эмоционального напряжения. Измерения проводились по 10-балльной шкале и представлены в таблице:

Построение парной линейной регрессии, оценивание ее параметров и их значимости можно выполнить с помощью программы «Анализ данных в EXCEL», инструмента «Регрессия». С этой целью построим вспомогательную таблицу:

130

б) Степенное уравнение регрессии.

Построению степенной модели ˆу а хbпредшествует процедура линеаризации переменных, которая производится путем логарифмирования обеих частей уравнения:

сии имеет вид: ˆу 3,02 х0,32.

в) Показательное уравнение регрессии.

Построению показательной модели ˆу а bхпредшествует процедура линеаризации

ние примет линейный вид: У А B x.

131

ра линеаризации переменных, которая производится путем замены переменной z х :

ˆу а b z.

Степенному уравнению регрессии соответствует максимальное из имеющихся значений, значение скорректированного коэффициента детерминации (0,24729), следовательно, данная модель наиболее точно отражает взаимосвязь между двумя коммуникативными навыками: активное слушание и снижение эмоционального напряжения.

132

ŷ теоретическое значение результативного признака, полу-

ченное по уравнению регрессии

независимая, нормально распределенная случайная вели- εi чина (остаток i yi ˆyi с нулевым математическим ожиданием и постоянной дисперсией), отражает тот факт, что изменение у будет неточно описываться изменением х, изза присутствия других факторов, не учтенных в данной мо-

дели.

Формулы для определения значения параметров ai, i = 0;k

1 способ

1 Записать уравнение линейной множественной регрессии в матричной форме

где Y – вектор значений зависимой переменной.

X – матрица значений независимых переменных A– вектор неизвестных параметров

– вектор случайных отклонений

2 Вычислить параметры регрессионного уравнения по формуле:

А Х / Х -1 Х /Y .

2 способ

Параметры уравнения регрессии можно определить с помощью программы

«Анализ данных в EXCEL», инструмента «Регрессия».

133

Пример. Даны следующие условные данные о:

У – количестве решенных задач на контрольной работе; Х1 (ч) – количестве времени, затраченном на подготовку обучающегося к контрольной

работе;

Х2 (%) – степени использования информационных технологий в процессе подготовки к контрольной работе. Предполагая, что между У, Х1 и Х2 существует линейная корреляционная зависимость, найдите ее аналитическое выражение, используя данные, приведенные в таблице:

Уравнение регрессии примет вид ˆyx 3,54 0,85x1 0,37x2.

Данное уравнение показывает, что при увеличении только количества времени Х1, затраченного на подготовку обучающегося к контрольной работе (при неизменном Х2) на 1 ч, количество решенных задач на одного обучающегося увеличится в среднем на 0,85; а при увеличении только уровня использования информационных технологий в процессе подготовки к контрольной работе Х2 (при неизменном Х1) - в среднем на 0,37.

Для определения значимости каждого из коэффициентов уравнения регрессии составим вспомогательную таблицу.

135

меньше, чем его табличное значение t , , поэтому параметры признаются незначимыми, то

есть найденные значения параметров обусловлены случайными совпадениями. Сделанные выводы о взаимосвязи факторных переменных и результативного признака несостоятельны.

Из-за различия единиц измерения исследуемых показателей и разной степени колеблемости нельзя сопоставить факторные признаки по степени их влияния на зависимую переменную. Для это используют коэффициент эластичности или β-коэффициент.

Коэффициент эластичности

β-коэффициент

Указанные коэффициенты позволяют проранжировать факторы по степени влияния факторов на зависимую переменную.

Дельта-коэффициент

парной корреляции между фактором хi

и зависимой переменной, R2 – коэффициент множественный детерминации

136

Коэффициент множественный детерминации используют для оценки качества множественных регрессионных моделей.

Коэффициент множественный детерминации

2 В случае множественной линейной регрессии значимость модели определя-

3Определить критические значения F1кр и F2кр, которые отвечают уровням значимости в 5% и 1% по таблице № 23 приложения при df1 k и df2 n k 1.

4Расположить значения критерия Fрасч, критические значения F1кр и F2кр на оси значимости.

5Если Fрасч находится в зоне незначимости, то принимается гипотеза Н0 об отсутствии значимости уравнения регрессии. Если Fрасч находится в зоне значимости, то гипотеза об отсутствии значимости уравнения регресии Н0 отклоняется и принимается гипотеза Н1 о наличии значимости уравнения регрессии. Если Fрасч находится в зоне неопределенности, то существует вероятность принятия ложного решения.

137

Мультиколлинеарность это

тесная зависимость между факторными признаками, включенными в модель

Изменения, возникающие под воздействием мультиколлинеарности

ПРИЧИНЫ ВОЗНИКНОВЕНИЯ МУЛЬТИКОЛЛИНЕАРНОСТИ МЕЖДУ ПРИЗНАКАМИ

изучаемые факторные признаки характеризуют одну и ту же сторону явления или процесса

использование в качестве факторных признаков, суммарное значение которых представляет собой постоянную величину

факторные признаки являются элементами друг друга

СПОСОБЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ НАЛИЧИЯ ИЛИ ОТСУТСТВИЯ МУЛЬТИКОЛЛИНЕАРНОСТИ

138

Метод уменьшения (устранения) мультиколлинеарности

Построить множественную линейную регрессию, включая все факторы, с помощью программы «Анализ данных в EXCEL», инструмента «Регрессия».

Построить множественную линейную регрессию, используя оставшиеся факторы, с помощью программы «Анализ данных в EXCEL», инструмент «Регрессия».

Проверить значимость коэффициентов уравнения регрессии при помощи t-критерия Стьюдента

Пример. Была обследована выборка из 10 респондентов по степени владения тремя важнейшими коммуникативными навыками. Измерения проводились по 10-балльной шкале и представлены в таблице:

Построение множественной линейной регрессии, оценивание ее параметров и их значимости выполним с помощью программы «Анализ данных в EXCEL», инструмент «Регрессия» (при заполнении значений факторных переменных необходимо указать не один столбец, а все столбцы, содержащие значения данных переменных).

139