Госы 5к Надя / ЛекцииТФДП / Ряды Фурье2

Задача 2.2. Если (1.2) есть замкнутая ортонормированная система в евклидовом пространстве , то имеет место равенство (обобщённое равенство Парсеваля) где есть коэффициенты Фурье элементов и соответственно.

Утверждение 2.2. Если (1.2) замкнутая ортонормированная система в , то в не существует ненулевого элемента, у которого все коэффициенты Фурье равны 0. (системы с таким свойством называются полными).

Доказательство.

Действительно, если при всех , то из равенства Парсеваля следует . Утверждение доказано.

Следствие 1.2. Для всякой замкнутой ортонормированной системы в два различных элемента не могут иметь одинаковые ряды Фурье.

Действительно, если элементы и имеют одинаковые ряды Фурье, то у разности все коэффициенты Фурье равны 0. Следовательно, .

Следствие 2.2. Если (1.2) есть замкнутая ортонормированная система в и для элемента в смысле сходимости в среднем имеет место равенство Ю, то есть коэффициенты Фурье функции , то есть .

Доказательство.

Пусть есть коэффициенты Фурье . Тогда из условия и утверждения III теоремы 4.2 следует: . Учитывая ортонормированность системы (1ю2), отсюда выведем . Это означает, что и . Следствие доказано.

Мы рассмотрели вопрос о разложении векторов в ряд Фурье в произвольном бесконечномерном Евклидовом пространстве. Ряды Фурье являются эффективным аппаратом при решении различных задач математической физики и математики. При этом в качестве евклидовых пространств берутся функциональные пространства с соответствующими ортонормированными системами. Примерами таких систем являются (см. [1], гл.10, §1) полиномы Лежандра, полиномы Чебышева, система Хаара, система Радемахера, функция Бесселя (см. [2], гл.VIII, IX) и другие.

В следующем параграфе мы подробно рассмотрим вопрос о разложении функций в ряд Фурье по тригонометрической системе.

§3. Тригонометрический ряд Фурье.

1. Замкнутость тригонометрической системы.

Рассмотрим в пространстве кусочно-непрерывных функций ортонормированную систему (3.2). Скалярное произведение в пространстве задается формулой (5.1).

Определение 1.1. Тригонометрическим многочленом называют выражение вида , где , , …, , , …, произвольные действительные числа.

Доказательство замкнутости тригонометрической системы опирается на следующую теорему Вейерштрасса:

Теорема 1.3. Любую непрерывную на отрезке функцию такую, что (т.е. ) можно равномерно приблизить тригонометрическими многочленами, то есть такой, что .

Доказательство можно найти в [1], гл.10, §3.

Теорема 2.3. Тригонометрическая система (3.2) замкнута в .

Доказательство теоремы опирается на следующие вспомогательные утверждения.

Лемма 1.3. Для любой интегрируемой по Риману на отрезке функции и найдется кусочно-постоянная на функция принимающая конечное число значений и такая, что

(9)

Лемма 2.3. Для любой функции , принимающей конечное число значений, и найдется функция такая, что

(2.3)

Доказательство леммы 1.3.

Возьмем любую интегрируемую на отрезке функцию и . Из интегрируемости вытекает ограниченность. Пусть . Из критерия интегрируемости следует, что найдется разбиение отрезка точками , , …, такое, что и , где , верхняя и нижняя суммы Дарбу соответственно. Здесь , , . Определим функцию

Очевидно, что и принимает конечное число значений. Найдем

. Лемма 1.3 доказана.

Доказательство леммы 2.3.

Пусть функция и принимает конечное число значений. Возьмем . Пусть , , …, все точки разрыва функции на интервале . Обозначим , . Выберем число , где , . Определим функцию

Здесь коэффициенты , подобраны так, что прямая при проходит через точки , а при через точки

Обозначим . Оценим

.

Подберем так, чтобы дополнительно выполнялось неравенство . Тогда Лемма доказана.

Доказательство теоремы 2.3.

Возьмем и . Функция интегрируема на отрезке , так как ограничена и имеет конечное число точек разрыва. Тогда из леммы 1.3 следует, что найдется кусочно-постоянная функция , принимающая конечное число значений и такая, что Согласно лемме 2.3 существует функция такая, что А из теоремы Вейерштрасса вытекает существование тригонометрического многочлена такого, что Тогда Поэтому Теорема доказана.

Следствие 1.3. Тригонометрическая система (4.2) замкнута в пространстве

Доказательство.

Возьмем и . Тогда функция и согласно теореме 2.3 существует тригонометрический многочлен такой, что . Поэтому

И, следовательно, , что завершает доказательство, поскольку тригонометрический многочлен равен линейной комбинацией функций из системы 4.2.

2. Тригонометрическая система в пространстве интегрируемых функций.

Обозначим через множество функций, интегрируемых по Риману на отрезке . Множество - линейное пространство. Это вытекает из линейных свойств интеграла Римана. Если попытаться ввести в скалярное произведение по формуле (5.1), то первая аксиома скалярного произведения не выполнится. Действительно, для функции везде на , кроме быть может, множества меры 0. Напомним, что числовое множество имеет меру 0, если существует конечная или счетная система интервалов, суммарная длина которых меньше , а объединение содержит данное множество. Таким образом, может не равняться тождественно 0.

Определение 1.3. Говорят, что некоторое свойство справедливо почти всюду на отрезке , если оно выполнено для всех точек , кроме, быть может, множества меры 0.

Будем говорить, что две функции и эквивалентны и писать ~, если они равны почти всюду на отрезке .

Легко проверить, что это действительно отношение эквивалентности. Поэтому множество интегрируемых функций разбивается на непересекающиеся классы по отношению эквивалентности.

Обозначим через множество классов эквивалентных, то есть равных почти всюду функций из .

Стандартным образом в вводится структура линейного пространства. Каждую функцию из данного класса будем называть представителем этого класса.

Под суммой двух классов из будем считать класс, содержащий сумму двух представителей этих классов.

Для и любого класса определим как класс, содержащий произведение на представитель класса .

Задача 1.3. Проверить, что так определенные операции сложения и умножения на число в не зависят от представителей данных классов.

Нулем в пространстве является класс, состоящий из функций равных 0 почти всюду на . Легко проверить в выполнение всех аксиом линейного пространства.

В дальнейшем, если это не будет вызывать недоразумений, будем обозначать одними и теми же буквами как сами классы из, так и их представителей. А само пространство , как и , будем называть пространством интегрируемых по Риману функций на отрезке .

Определим в скалярное произведение по следующему правилу:

положим

(3.3)

Где под интегралом стоит произведение произвольных двух представителей классов Из свойств интеграла Римана следует, что интеграл в формуле (3.3) существует и одинаков для всех представителей классов и . Теперь легко проверить выполнение всех аксиом скалярного произведения. Таким образом, является евклидовым пространством со скалярным произведением (3.3) Сходимость по норме, порожденной скалярным произведением (3.3) (т.е. )) называется сходимостью в среднем.

Очевидно, что тригонометрическая система (3.2) (точнее, система классов функций эквивалентных функциям из (3.2)) является ортонормированной системой в .

Теорема 3.3. Тригонометрическая система (3.2) замкнута в пространстве .

Доказательство теоремы 3.3 полностью повторяет доказательство теоремы 2.3 поскольку лемма 1.3 доказана нами для функций из . Если в доказательстве следствия 1.3 заменить пространство , на пространство , то получим доказательство следующего следствия из теоремы 3.3.

Следствие 2.3. Тригонометрическая система (4.2) замкнута в пространстве .

Из замкнутости тригонометрической системы (4.2) и теоремы 4.2 следует, что для функции либо из пространства , либо из ряд Фурье сходится к в среднем и имеет место равенство Парсеваля.

3. Ряд Фурье по тригонометрической системе (3.2).

Возьмем произвольную функцию и напишем ее ряд Фурье по системе 3.2. Согласно определения 3.2 найдем сначала коэффициенты Фурье: