Госы 5к Надя / лекции_3 / int_ zaw_ot_ par / Математический анализ - Интегралы - Аксёнов - 2000 - 145
.pdf§6. Вычисление двойного интеграла в случае криволинейной области
Пусть ограниченная функция f (x, y) задана в области (D ), огра-
ниченной |
линиями: |
y = c , y = d |
( c < d ) и |
x = α( y); |
x = β( y) , где |
α( y), β( y) – функции, непрерывные на промежутке [c, d] и такие, что
α( y) ≤β( y) , y [c, d].
Определение. Пусть при каждом закрепленном y из [c, d] существует
y
d
|
(D) |
c |
x =β( y) |
|
|
x =α( y) |
x |
β( y) |
|
|
|
β |
( y) |
|
Рис. 2.5. К определению повторного |
|
||||
∫ f (x, y) dx . |
|
|
|
|
|
|
||||||
Тогда |
∫ f (x, y) dx |
интеграла от функции |
f (x, y) |
|
||||||||
α( y) |
|
|
|
α( y) |
|
|
в области ( |
|
) |
|
||
|
|
|
|
|
D |
|
||||||
представляет собой функцию аргу- |
|
|
|
|
|
|||||||
мента |
y , определенную |
на |
проме- |
|
|
|
|
|
||||
|
|
β( y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
жутке [c, d], т. е. ∫ f (x, y) dx = |
ϕ( y) , |
y [c, d]. Если эта функция ϕ( y) |
||||||||||
|
|
α( y) |
|
обозн. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
[c, d], |
|
|||
оказывается |
интегрируемой |
на |
промежутке |
то |
||||||||
d |
d |
β( y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
∫ϕ( y) dy = ∫dy |
∫ f (x, y) dx |
называется повторным интегралом от функции |
||||||||||
c |
c |
α( y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
f (x, y) в области ( |
|
). |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема 1. Если у ограниченной функции |
f (x, y), заданной в области ( |
D |
), |
|||
существуют |
одновременно |
оба интеграла: |
Iдв. = ∫∫ f ( x, y) dxdy |
|
и |
|
|
|
|
|
( D ) |
|
|
d |
β( y) |
|
|
|
|
|
Iповт. = ∫dy |
∫ f (x, y) dx , то они равны, т. е. |
Iдв. = Iповт.. |
|
|
||
c α( y) |
|
|
|
|
|
|
По условию α( y) и β( y) |
– функции, непрерывные на [c, d]. Значит, они |
– ограниченные на [c, d]. Следовательно, найдутся числа a и b такие, что будет: a < α( y) ≤β( y) < b , y [c, d]. Построим прямоугольник
( |
|
) = a ≤ x ≤ b, |
Ясно, что ( |
|
) ( |
|
). Введем в рассмотрение вспомогатель- |
P |
D |
P |
|||||
|
|
c ≤ y ≤ d. |
|
|
|
|
|
ную функцию g( x, y) , определив ее в прямоугольнике (P ) следующим образом:
41
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g(x, y) = |
f ( x, y) в (D ), |
|
|
||||||
d x =α( y) |
|
|
x =β( y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 в ( P ) \ (D ). |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
(D) |
|
|
|
|
Покажем, что у функции g( x, y) в (P ) сущест- |
||||||||||||||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
вуют |
|
|
оба |
интеграла |
Iдв* |
. = ∫∫g(x, y) dF |
и |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( P ) |
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
Iповт* . |
|
|
|
d |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
b |
= |
∫ |
dy |
∫ |
g(x, y) dx . |
|
|
|
|
|||||||
|
Рис. 2.6. К доказательству |
|
|
|
|
|
c |
|
a |
|
|
g( x, y) R( D ), |
|
|
||||||||||
|
|
1) Действительно, |
ибо |
в |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
теоремы 1 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(D ) |
|
|
|
|
g(x, y) ≡ f ( x, y) . |
|
Кроме |
того, |
|||||
g(x, y) R (P ) \ (D) |
, ибо g(x, y) = 0 |
всюду в |
(P ) \ ( D) , |
за исключением, |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
( |
|
) |
|
|
|
лежащих на двух простых кривых: x = α( y) |
|
||||||||||||
быть может, множества точек, |
и |
|||||||||||||||||||||||
x = β( y) , |
y =[c, d] (мы знаем, что существование и величина двойного инте- |
|||||||||||||||||||||||
грала не зависят от значений, принимаемых подынтегральной функций вдоль |
||||||||||||||||||||||||
конечного |
числа |
простых |
кривых). Значит, |
g(x, y) R(P ), |
т. е. |
|||||||||||||||||||
Iдв* |
. = ∫∫g(x, y) dF существует. Имеем, далее, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
( P ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Iдв* |
. = ∫∫g( x, y) dF = ∫∫g( x, y) dF + ∫∫g( x, y) dF = |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
( P ) |
|
|
|
( D ) |
|
|
|
|
|
( P )\( D) |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1442443 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∫∫ f ( x, y) dF + 0 = Iдв. . |
=0 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( D ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Итак, Iдв* |
. существует, и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Iдв* |
. = Iдв.. |
|
|
|
|
|
(1) |
||||||
|
|
2) Покажем теперь, что у функции |
|
g( x, y) в (P ) |
существует I* |
. Для |
||||||||||||||||||
этого возьмем любое y из [c, d] и закрепим его. Имеем |
|
повт. |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
[a,b] = |
[ |
a,α( y) U |
[ |
α( y),β( y) U β( y),b . |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
] |
|
|
|
|
] |
[ |
] |
|
|
|
||||
Функция g( x, y) |
интегрируема по x на каждом из этих трех промежутков, ибо |
|||||||||||||||||||||||
на |
[ |
α( y),β( y) она совпадает с |
f (x, y), а на остальных двух – g(x, y) = 0 всю- |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ду за исключением, быть может, двух точек. Имеем, далее, |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
b |
|
|
|
α( y) |
|
|
|
β( y) |
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
β( y) |
|
|
|
|
|
∫g(x, y) dx = ∫g(x, y) dx + ∫g(x, y) dx + ∫g(x, y) dx = ∫ f (x, y) dx . |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
a |
|
|
|
a |
|
|
|
α( y) |
|
|
|
|
|
|
β( y) |
|
|
|
α( y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
142443 |
|
|
|
|
|
|
|
142443 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=0 |
|
|
|
|
|
42 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По условию, правая часть последнего равенства интегрируема на промежутке [c, d] (по условию, Iповт. существует). Значит, интегрируема на промежутке
|
|
т. е. существует Iповт* |
d |
b |
[c, d] и левая часть этого равенства, |
. = ∫dy∫g(x, y) dx . |
|||
Таким образом, показано, что Iповт* |
|
|
c |
a |
. существует и что |
|
|
||
Iповт* |
. = Iповт.. |
|
(2) |
Так как у ограниченной функции g( x, y) , заданной в прямоугольнике (P ), су-
ществуют оба интеграла I* |
и I* |
, то по теореме 1 предыдущего параграфа |
||||||
|
|
дв. |
|
повт. |
|
|
|
|
заключаем, что |
|
|
I* |
= I* . |
|
|||
|
|
|
|
(3) |
||||
|
|
|
|
дв. |
повт. |
|
||
У нас Iдв* |
. = Iдв., Iповт* |
. = Iповт.. Следовательно, Iдв. = Iповт.. |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
β( y) |
Теорема 2. Пусть функция |
f (x, y) C( |
|
) , и пусть ϕ( y) = |
∫ f ( x, y) dx , |
||||
D |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
α( y) |
y [c, d]. Тогда ϕ( y) C([c, d]).
Эта теорема была доказана ранее (см. гл. 1, §6, теорема о непрерывности
интеграла как функции параметра). |
|
|
|
|||
Следствие. Если функция |
f (x, y) C( |
|
) , то существует |
|||
D |
||||||
d |
d |
β( y) |
||||
Iповт. = ∫ϕ( y) dy = ∫dy |
∫ f (x, y) dx . |
|||||
c |
c α( y) |
|||||
Ранее (см. §3, теорема 2) |
было доказано, что если f (x, y) C( |
|
) , то |
|||
D |
f (x, y) R(D ) , т. е. существует Iдв. = ∫∫ f ( x, y) dxdy . Таким образом, прихо-
|
|
|
|
( D ) |
|
|
|
|
дим к заключению: если |
f (x, y) C( |
|
) , |
то существуют одновременно Iдв. и |
||||
D |
||||||||
Iповт. . А тогда по теореме 1 настоящего параграфа приходим к выводу, что |
||||||||
Iдв. = Iповт., т. е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
β( y) |
|
|
|
∫∫ f ( x, y) dxdy = ∫dy ∫ f ( x, y) dx . |
(4) |
|||||||
( D ) |
|
|
|
c |
α( y) |
|
|
|
Замечание 1. Если область ( |
|
) представляет собой криволинейную трапе- |
||||||
D |
||||||||
цию другого типа и ограничена кривыми |
~ |
~ |
x [a,b] и пря- |
|||||
y = α(x), |
y = β(x) , |
|||||||
мыми x = a , x = b , a < b |
~ |
|
~ |
предполагаются непрерыв- |
||||
(функции α(x) |
и β(x) |
43
ными на промежутке [a,b] и такими, формулы (4) придем к формуле
∫∫ f ( x, y) dxdy =
( D )
что |
~ |
~ |
α(x) ≤ β(x) , |
||
b |
~ |
|
β( x) |
|
|
∫dx |
~ ∫ f ( x, y) dy . |
|
a |
α( x) |
|
x [a,b]), то вместо
(5)
Разумеется, что при этом предполагается, что f (x, y) C(D ) , а, следователь-
но, Iдв. = ∫∫ f ( x, y) dxdy
|
( D ) |
y |
~ |
y =β(x) |
|
b |
~ |
~ |
β( x) |
|
|
~ ∫ f ( x, y) dy |
|
и Iповт. = ∫dx |
||
|
a |
α( x) y |
d
существуют.
~
y =β(x)
(D ) |
(D ) |
|
|
~ |
x |
c |
a |
y =α( x) |
a |
|
b |
|
~
y =α( x)
x
b
|
|
Рис. 2.7. К замечанию 1 |
|
|
|
Рис. 2.8. К замечанию 2 |
||||||||||||||||||||||
y |
|
Замечание 2. Если контур области ( |
|
|
) пересе- |
|||||||||||||||||||||||
|
D |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
кается лишь в двух точках как параллелями оси |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
(D3) |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
абсцисс, так и параллелями оси ординат (как, на- |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пример, в случае, изображенном на рис. 2.8), то |
||||||||||||||
|
(D1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
справедливы обе формулы (4) и (5). При этом, ко- |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нечно, предполагается, что f (x, y) C( |
|
) . Функ- |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
( |
D |
) |
|
|
|
|
|
|
~ |
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
2 |
|
|
x |
ции |
α(x), β( x) C([a,b]). |
|
|
Функции |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
γ |
α( y),β( y) C([c, d]). |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Замечание 3. В случае более сложного контура |
|||||||||||||||||||||||
Рис. 2.9. К замечанию 3 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
область ( |
|
) обычно разлагается на конечное число |
|||||||||||||||||||||||||
|
D |
|||||||||||||||||||||||||||
частей рассмотренного типа (например, на рис. 2.9 область ( |
|
) рассекается |
||||||||||||||||||||||||||
D |
||||||||||||||||||||||||||||
прямой x = γ на три такие части: ( |
|
|
( |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
D1 ), |
D2 ), ( D3 ) ). Тогда и искомый двойной |
интеграл представляется суммой двойных интегралов, распространенных в от-
дельности на эти части:
∫∫ f ( x, y) dF = ∫∫ f (x, y) dF + ∫∫ f ( x, y) dF + ∫∫ f ( x, y) dF .
( D ) |
( D1 ) |
( |
|
|
( |
|
|
D2 ) |
D3 ) |
44
§7. Примеры к главе 2
1. Вычислить I = ∫∫(x2 + y) dxdy , где (D ) – область, ограниченная двумя
( D )
параболами: y = x2 и y2 = x .
Полезно сделать чертеж (хотя бы грубо), чтобы получить общее представление об области. Решая совместно уравнения парабол, находим точки их пересе-
чения: (0, 0) и (1,1) .
Если внешнее интегрирование производить по y , то промежутком изменения y будет [0,1]. Взяв произвольное значение y из промежутка [0,1], видим по
рисунку, что x изменяется от x = y2 |
до x = |
|
. Бу- |
|
y |
||||
1 |
x= |
y |
||
дем иметь, следовательно, I = ∫dy |
∫(x2 + y) dx . |
|||
0 |
x=y2 |
y
1 |
x = y2 |
|
|
y |
(D) |
|
|
|
y =x2 |
x |
O 1
Рис. 2.10. К примеру 1
Вычисляем внутренний интеграл:
x= y 2 |
|
|
x3 |
|
|
|
|
x= y |
|
1 |
|
|
3 2 |
|
|
3 2 |
|
1 |
|
6 |
|
3 |
|
4 |
|
3 2 |
|
|
1 |
|
|
6 |
|
3 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
∫ |
(x |
+ y) dx = |
|
|
|
+ yx |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
y |
|
|
|
+ y |
|
− |
|
|
y |
|
|
− y |
|
= |
|
y |
|
− |
|
y |
|
− y |
|
. |
||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
x=y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
=y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Вычисляем теперь внешний интеграл: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 4 |
|
|
|
|
3 2 |
1 |
|
6 |
|
|
|
3 |
|
|
33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
− 3 y |
|
|
− y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 y |
|
|
|
|
|
dy = 140 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Вычислить |
I = ∫∫ |
x |
dxdy , |
где ( |
|
) |
– об- |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
( D ) y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = x |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
ласть, ограниченная прямыми x = 2 , |
|
|
и ги- |
|
|
|
|
y =x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
перболой xy =1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x =2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Наносим |
все |
эти |
три |
|
|
линии |
|
на |
рисунок |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
( D ) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
(рис. 2.11). Совместным решением |
|
|
уравнений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
легко получить, что прямая |
|
x = 2 |
|
|
пересекает |
1 2 |
|
|
|
|
xy =1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
прямую |
y = x |
в точке (2, 2), |
а гиперболу xy =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
; прямая же |
|
y = x |
|
и гипербола |
|
O |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
– в точке 2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.11. К примеру 2 |
|
|
||||||||||||
xy =1 (в пределах первого квадранта, где и лежит |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рассматриваемая область) пересекаются в точке (1,1) .
45
Если внешнее интегрирование производить по x , то промежуток изменения x будет [1, 2]. Взяв произвольное значение x из этого промежутка, видим по
рисунку, |
что |
|
y изменяется от |
y = |
1 |
до |
y = x . |
|
Будем иметь, следовательно, |
|||||||||||
2 |
|
|
y=x |
|
|
|
|
y=x |
x |
|
|
|
|
|
|
y=x |
|
|
||
|
|
x |
2 |
|
|
|
x |
2 |
|
|
x |
2 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
I = ∫dx |
∫ |
|
dy . |
Но |
∫ |
|
dy = − |
|
= x3 − x , |
так |
что |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
y |
2 |
y |
2 |
y |
|||||||||||||||
1 |
|
y=1 x |
|
|
|
y=1 x |
|
|
|
|
|
y=1 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
3 |
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
I = ∫ |
( x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
− x) dx = 4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В то время как в примере 1 вычисление двойного интеграла по обеим формулам (4) или (5) представлялось одинаково простым, в примере 2 дело обстоит иначе: вычисление по формуле (4) здесь было бы сложнее. Тем не менее мы выполним его, ибо поучительно дать себе отчет в причине указанного обстоятельства.
Прямая, параллельная оси Ox , пересекает контур области (D ) в двух точках, так что формула (4) применима. Но кривая, ограничивающая нашу область слева, состоит из двух частей: куска гиперболы и куска прямой, которые определяются различными уравнениями. Иными словами, функция x = α( y) зада-
ется различными формулами в различных частях промежутка 12 , 2 изменения y . Именно,
|
1 |
|
|
y |
1 |
|
|
|
, |
если |
|
, 1 , |
|
|
||||||
α( y) = y |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
если |
y [1, 2]. |
||
y, |
Поэтому интегрирование по y следует разбить на два промежутка:
[1, 2]. Следовательно, будем иметь:
|
|
|
|
|
|
1 |
|
x=2 |
|
x |
2 |
|
|
2 |
x=2 |
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
I = ∫ |
dy ∫ |
|
|
|
dx + ∫dy ∫ |
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
y |
2 |
y |
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
x=1 y |
|
|
|
1 |
x=y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Так как |
|
|
|
|
x=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x=2 |
|
|
||
x=2 |
x2 |
|
x3 |
|
8 |
|
|
|
1 |
|
|
|
x=2 |
x2 |
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
8 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
∫ |
dx = |
|
|
= |
|
− |
|
|
|
, |
∫ |
|
dx = |
|
|
= |
|
|||||||||||
2 |
2 |
|
3y |
2 |
3y |
5 |
|
2 |
2 |
3y |
2 |
|||||||||||||||||
x=1 y |
y |
3y |
x= |
1 |
|
|
|
|
|
|
x=y |
y |
|
|
|
|
3y |
|
|
x=y |
|
|||||||
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 ,1 и2
− 3y ,
46
1 |
|
8 |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
8 |
|
|
y |
|
17 |
|
5 |
|
9 |
|
I = ∫ |
|
|
|
− |
|
|
dy + ∫ |
|
|
|
− |
|
dy = |
|
+ |
|
= |
|
. |
|
3y |
2 |
3y |
5 |
|
2 |
3 |
12 |
6 |
4 |
|||||||||||
1 2 |
|
|
|
|
|
1 |
3y |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С подобными обстоятельствами приходится считаться: из двух возможных путей вычисления двойного интеграла, естественно, выбирают более простой.
3. Вычислить I = ∫∫ 4x2 − y2 dxdy , где |
( |
|
) |
– |
D |
||||
( D ) |
y = x . |
|
||
область, ограниченная прямыми y = 0 , x =1, |
x , |
|||
Если внешнее интегрирование производить по |
то промежуток изменения x будет [0,1]. Взяв произвольное значение x из промежутка [0,1], видим по
рисунку, что y изменяется от |
y = 0 до y = x . Будем |
1 |
y=x |
иметь, следовательно, I = ∫dx |
∫ 4x2 − y2 dy . Вы- |
0 |
y=0 |
y
1 y =x
x =1
(D) x
O |
y =0 |
1 |
Рис. 2.12. К примеру 3
числяем внутренний интеграл:
y=x |
|
2 |
|
2 |
y |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
y y=x |
|
3 |
|
π |
|
2 |
|
|||
∫ |
4x |
− y |
|
4x |
− y |
+ 2x |
arcsin |
+ |
. |
|||||||||||||||||||
|
|
dy = |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
= |
2 |
3 |
x |
|
|||||||||||||
y=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
y=0 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Вычисляем теперь внешний интеграл: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
I = |
1 |
|
3 |
+ |
π |
|
2 |
dx |
= |
1 |
3 |
+ |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
∫ |
|
2 |
x |
|
|
2 |
3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В примере 3 вычисление I можно было вести и по формуле (4), т. е. производить внешнее интегрирование по y . Но в этом случае мы натолкнемся на
более трудные квадратуры. Чтобы убедиться в этом, станем вычислять I
1 x=1
по формуле (4). Имеем: I = ∫dy ∫ 4x2 − y2 dx . Вычисляем внутренний инте-
0 x=y
грал:
x=1 |
|
2 |
|
2 |
|
1 |
|
2 |
|
2 |
|
y2 |
∫ |
4x |
− y |
dx = |
− y |
|
|||||||
|
|
2 |
x 4x |
|
|
− |
2 ln (2x + 4x |
|||||
x=y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
4 − y |
2 |
|
y2 |
4 − y |
2 |
)− y |
2 |
3 + |
y2 |
= |
2 |
|
|
− |
2 ln (2 + |
|
|
2 ln |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2− y2 ) x=1 =
x=y
(2 y + |
|
3y) . |
|
|
|
А тогда
47
I = |
1 |
1 |
|
4 − y |
2 |
− |
3y |
2 |
+ |
ln (2 + |
3) |
y |
2 |
+ |
y2 |
ln |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
∫ |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
dy . |
|
|
|
||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
+ |
4 |
− y |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Сопоставляя это выражения для |
I с ранее полученным: |
I = |
1 |
|
|
3 |
+ |
π |
|
2 |
dx , |
||||||||||||||||
∫ |
|
2 |
3 |
x |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
видим, что вычисление I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
по формуле (5) предпочтительнее. Подобное обстоя- |
тельство следует учитывать при выборе формулы для вычисления двойного интеграла.
Для приобретения навыков в расстановке пределов интегрирования в случае
криволинейной области полезны следующие упражнения. |
|
||||||||
|
|
y |
|
Задача 1. Переменить порядок интег- |
|||||
|
|
8 |
|
рирования |
в |
повторном |
интеграле |
||
|
|
|
2 |
y=2−x |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
I = ∫dx ∫ f (x, y) dy . |
|
||||
|
|
x =2 y +1 |
−6 |
x2 |
|
|
|
||
|
|
|
y= 4 |
−1 |
|
(D ) опре- |
|||
x = −2 y +1 |
( D ) |
2 |
|
Область интегрирования |
|||||
x |
деляется |
совместными неравенствами: |
|||||||
|
|
||||||||
−6 |
−2 |
2 |
−6 ≤ x ≤ 2 , |
x2 −1 ≤ y ≤ 2 − x . |
Изобразим |
||||
|
|
−1 |
|
|
|
4 |
|
|
|
Рис. 2.13. К задаче 1 |
|
эту область |
(D ) |
на рисунке. Из рис. 2.13 |
видим, что если брать внешнее интегрирование по y , то область (D ) следует разбить на две области (D1 ) и (D2 ) лини-
ей |
y = 0 . Тогда: |
( |
|
|
|
будет |
определяться неравенствами: |
−1 ≤ y ≤ 0 , |
||||||
D1 ) |
||||||||||||||
−2 |
y +1 ≤ x ≤ 2 |
|
, |
а |
( |
|
|
– |
неравенствами |
0 ≤ y ≤ 8 , |
||||
y +1 |
||||||||||||||
D2 ) |
||||||||||||||
−2 |
y +1 ≤ x ≤ 2 − y . Будем иметь, следовательно, |
|
||||||||||||
|
0 |
|
|
|
x=2 y+1 |
|
|
|
8 |
x=2−y |
|
|||
|
I = ∫dy |
∫ f (x, y) dx + ∫dy |
∫ f ( x, y) dx . |
|
||||||||||
|
|
−1 x=−2 y+1 |
|
|
|
0 |
x=−2 y+1 |
|
||||||
|
Задача 2. Переменить порядок интегрирования в повторном интеграле |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
y=1−x2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
I = ∫dx |
∫ f (x, y) dy . |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
y=− |
1−x2 |
|
|
Область интегрирования (D ) определяется совместными неравенствами
−1 ≤ x ≤1, − 1 − x2 ≤ y ≤1− x2 .
48
y
|
|
|
|
|
|
|
x =− 1− y |
1 |
|
|
|
x = 1− y |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
x |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( D ) |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
x =− 1− y2 |
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
x = 1− y2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.14. К задаче 2 |
|
|
|
||||||||||||||
Изобразим область ( |
|
) на рисунке. Из рис. 2.14 видим, что если внешнее ин- |
|||||||||||||||||||||||||||
D |
|||||||||||||||||||||||||||||
тегрирование производить по |
y , то область ( |
|
|
) следует разбить линией y = 0 |
|||||||||||||||||||||||||
D |
|||||||||||||||||||||||||||||
на две области ( |
|
|
|
и ( |
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
D1 ) |
|
D2 ) . Область |
D1 ) определяется неравенствами: |
||||||||||||||||||||||||||
−1 ≤ y ≤ 0 , |
− |
1− y2 ≤ x ≤ |
|
1− y2 , а область ( |
|
) – неравенствами 0 ≤ y ≤1, |
|||||||||||||||||||||||
|
D |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
− 1− y ≤ x ≤ |
1− y . Следовательно, будем иметь |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
x= 1−y2 |
1 |
|
|
x= 1−y |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
I = ∫dy |
∫ f ( x, y) dx + ∫dy |
∫ f (x, y) dx . |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
−1 |
|
x=− 1−y2 |
0 |
|
|
x=− 1−y |
|
|
|
||||||||||||||||
Задача |
3. |
Переменить |
|
порядок |
интегрирования в |
повторном интеграле |
|||||||||||||||||||||||
2a |
y= 2ax |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
I = ∫dx |
|
∫ f (x, y) dy ( a > 0 ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
0 |
y= |
2ax−x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Область интегрирования ( |
|
) определяется совместными неравенствами: |
|||||||||||||||||||||||||||
D |
|||||||||||||||||||||||||||||
0 ≤ x ≤ 2a ; |
|
2ax − x2 ≤ y ≤ |
|
|
. |
Изобразим |
область |
( |
|
) на рисунке. Из |
|||||||||||||||||||
|
|
2ax |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
D |
рис. 2.15 видим, что если внешнее интегрирование производить по y , то об-
ласть ( |
|
) следует разбить линией: |
y = a на три области: ( |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
D |
D1 ) , (D2 ) , (D3 ) . |
|||||||||||||||||||||
Область ( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
D1 ) определяется неравенствами: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 ≤ y ≤ a, |
≤ x ≤ a − |
a |
2 |
− y |
2 |
; |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
2a |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
область ( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
D2 ) – неравенствами: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
0 ≤ y ≤ a, a + a2 − y2 ≤ x ≤ 2a ; |
||||||||||||||||
область ( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
D3 ) – неравенствами |
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
a ≤ y ≤ 2a, |
≤ x ≤ 2a . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
2a |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
49
|
y |
|
|
|
|
2a |
y2 |
x =2a |
|
|
x = |
|
||
|
2a |
|
|
|
|
a |
|
x =a + |
a2−y2 |
x =a − |
a2−y2 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
a |
2a |
|
|
Рис. 2.15. К задаче 3 |
|
|
Следовательно, будем иметь:
a |
x=a− a2 −y2 |
a |
x=2a |
2a |
x=2a |
||||
I = ∫dy |
∫ f (x, y) dx + ∫dy |
∫ f ( x, y) dx + ∫dy ∫ f ( x, y) dx . |
|||||||
0 |
x= |
y2 |
0 |
x=a+ a2 −y2 |
a |
x= |
y2 |
||
|
2a |
|
|
|
|
2a |
|
Задача 4. Вычислить I = ∫∫ |
|
cos( x + y) |
|
|
|
0 |
≤ x ≤ π, |
||||
|
|
dxdy , где (D ) = |
≤ y ≤ π. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
( D ) |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
y |
3π −x |
|
|||||||||
|
|
|
y = |
|
|||||||
π |
2 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
( |
D |
4) |
|
|
|
|
|
|
|
π |
π 2 |
(D2) |
|
|
|
y = |
|
(D3) |
|
|
||
2 |
−x |
(D1) |
|
x |
||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
π |
π |
3π |
2π |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
Рис. 2.16. К задаче 4 |
|
Отметим прежде всего, что cos(x
|
|
|
|
≤ x ≤ |
π |
; 0 |
≤ y ≤ |
π |
|
|
|
|
|||||||
(D ) = 0 |
2 |
2 |
− x и |
||||||
1 |
|
|
|
|
|
cos(x + y) ≤ 0 в областях:
+ y) ≥ 0 в областях: |
|
|
|||||
|
|
|
π |
|
3π |
|
|
(D ) = |
≤ x ≤ π; |
||||||
|
2 |
− x ≤ y ≤ π . |
|||||
4 |
2 |
|
|
50