Госы 5к Надя / лекции_3 / int_ zaw_ot_ par / Математический анализ - Интегралы - Аксёнов - 2000 - 145
.pdfЗамечание 2. Положим
( xu′)2 +( yu′)2 +( zu′)2 = E,
( xv′ )2 +( yv′ )2 +( zv′ )2 = G, xu′xv′ + yu′ yv′ + zu′zv′ = F
( E, G, F – это так называемые коэффициенты Гаусса). Легко проверить, что
A2 + B2 + C2 = EG − F2 . Поэтому |
|
|
|
||
|
|
s = ∫∫ |
EG − F2 dudv . |
|
(11) |
|
|
(∆) |
|
|
|
|
|
§3. Примеры к главе 4 |
|
|
|
Пример 1. Найти площадь s |
поверхности тела, ограниченного поверхно- |
||||
стями: x2 + z2 = a2 , |
y2 + z2 = a2 . |
y |
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y =x |
|
|
|
|
(D) |
x |
|
|
|
|
|
|
|
O |
a |
|
|
|
|
a |
y |
|
|
||
|
|
|
|||
x |
y =x |
|
|
|
|
|
|
Рис. 4.7. К примеру 2 |
|
||
Рис. 4.6. К примеру 1 |
|
На рис. 4.6 изображена часть интересующей нас поверхности, расположенная в первом октанте. Эта часть поверхности состоит из двух одинаковых по площади кусков. Один из этих кусков определяется уравнением
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z = a2 − x2 |
и |
проектируется |
|
на плоскость Oxy |
в |
|
треугольник |
||||||||||||||||
|
|
|
0 ≤ x ≤ a, |
Площадь |
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
( D ) = |
≤ y ≤ x. |
|
s этого куска поверхности можно определить по |
||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−x |
|
|
|||||
|
|
|
|
~ |
|
∫∫ |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
формуле: |
s = |
1 +( zx′ ) |
|
+( z′y ) |
|
dxdy . Имеем: |
zx′ = |
|
|
|
|
, |
z′y = 0 . Сле- |
||||||||||
|
|
a2 |
− x2 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
( D ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
довательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
a2 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 +( z′ )2 |
+( z′ )2 |
=1 + |
|
= |
. |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
y |
|
|
|
a2 − x2 |
|
a2 − x2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А тогда
111
~ |
a |
|
dx |
|
y=x |
|
|
a |
x dx |
|
|
2 |
|
2 x=a |
|
2 |
|
|||||
= a∫ |
|
|
2 ∫dy = a∫ |
|
= −a a |
− x |
= a |
|
||||||||||||||
s |
a |
2 |
− x |
a |
2 |
− x |
2 |
|
x=0 |
|
. |
|||||||||||
|
0 |
|
y=0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
~ |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
часть площади s , то находим |
|
|
|
||||||||||
Так как s составляет лишь |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
16 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s =16a2 (кв. ед.). |
|
|
|
|
|
|
|||||||
Пример 2. Найти площадь s |
части поверхности x2 + y2 = 2az , заключен- |
|||||||||||||||||||||
ной внутри цилиндра ( x2 + y2 )2 = 2a2 xy (рис. 4.7). |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Поверхность z = |
x |
2 + y2 |
|
– параболоид вращения. Ось Oz |
является осью |
|||||||||||||||||
|
2a |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
симметрии |
этого |
|
параболоида |
вращения. |
Цилиндрическая |
поверхность |
( x2 + y2 )2 = 2a2 xy – симметрична относительно плоскости y = x . Она пересекается с плоскостью Oxy по кривой, уравнение которой в полярных координа-
тах имеет вид: r2 = a2 sin 2ϕ. Одна четвертая часть куска поверхности, вырезаемая цилиндром из параболоида вращения, проектируется на плоскость Oxy
|
|
|
π |
|
|
π |
||
в область ( D ), ограниченную линиями: ϕ = |
и r = a sin 2ϕ , ϕ |
|||||||
4 |
0, |
4 |
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
Имеем
zx′ = ax ;
Следовательно,
z′ |
= |
y |
; 1 +( z′ )2 +( z′ )2 |
= a2 + x2 + y2 |
|
|||
|
||||||||
y |
a |
|
x |
|
y |
a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 +( z′ )2 |
+( z′ )2 |
= |
a2 + x2 + y2 . |
|
|||
|
|
|
x |
y |
|
|
a |
|
s = a4 ∫∫ a2 + x2 + y2 dxdy .
( D )
Перейдем в двойном интеграле к полярным координатам. Будем иметь
|
4 |
π 4 |
r=a sin 2ϕ |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
4 |
π 4 |
|
2 |
|
|
2 |
3 2 |
|
r=a |
sin 2ϕ |
|
|
||||||||
|
|
∫ dϕ ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
S = a |
|
|
|
a |
|
+r |
|
r dr = |
|
(a |
|
+ r |
) |
|
|
|
|
|
dϕ = |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
3a |
|
|
|
r=0 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
0 |
|
r=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
4 |
|
2 |
π 4 |
|
|
3 2 |
−1)dϕ = |
4 |
|
|
2 |
|
π 4 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
||||||||||||||
= |
3 a |
|
((1 +sin 2ϕ) |
|
3 a |
|
|
∫(sin ϕ + cosϕ) dϕ − |
4 |
|
= |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 2 |
|
|
|
π 4 |
|
3 |
|
|
|
|
π |
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
= |
|
a |
|
2 |
2 ∫ |
sin |
|
ϕ + |
|
|
|
|
− |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
4 |
dϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
112
|
|
4 2 |
|
|
|
π 4 |
|
|
2 |
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
π |
|
π |
|
|||||||
|
= |
|
a |
|
2 |
2 ∫ |
cos |
|
|
ϕ + |
|
|
|
|
|
|
|
ϕ + |
|
|
− |
|
= |
||||||
|
3 |
|
|
|
4 |
|
−1 d cos |
4 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
||||
= |
4 |
a |
2 |
|
|
|
− |
|
1 |
|
+ |
1 |
|
− |
π |
= |
a2 |
(20 −3π). (кв. ед.). |
|||||||||||
3 |
2 2 |
|
6 |
|
2 |
|
2 |
|
4 |
|
|
9 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 3. Найти площадь s части сферы, ограниченной двумя параллелями
и двумя меридианами. |
z |
Пусть ρ, ϕ, θ – сфериче- |
ские координаты точек пространства. Декартовы и сферические координаты точки пространства связаны соотношениями
x = ρcosϕcosθ,y = ρsin ϕcosθ,
z = ρsin θ.
Координаты любой точки сферы радиуса R будут такими:
x = Rcosϕcosθ,y = Rsin ϕcosθ,
z = Rsin θ.
x
θ2
ϕ1 θ1
ϕ2
Последние уравнения можно |
Рис. 4.8. К примеру 3 |
|
рассматривать как параметриче- |
||
|
||
ские уравнения интересующего |
|
нас куска сферы, если ϕ [ϕ1, ϕ2 ]; θ [θ1, θ2 ]. Имеем: |
|
|
|||||||||||
xϕ′ |
yϕ′ |
zϕ′ |
= |
−Rsin ϕcosθ |
Rcosϕcosθ |
0 |
|
||||||
|
yθ′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||
xθ′ |
zθ′ |
|
|
−Rcosϕsin θ −Rsin ϕsin θ |
Rcosθ |
||||||||
E = ( x′ )2 +( y′ )2 +( z′ )2 = R2 cos2 θ, |
G = ( x′ )2 +( y′ )2 |
+( z′ )2 |
|||||||||||
ϕ |
ϕ |
|
|
ϕ |
|
|
|
|
|
θ |
θ |
θ |
|
F = x′ x′ |
+ y′ |
y′ |
|
+ z′ z′ = 0 |
|
|
|
EG − F2 = R2 cosθ. |
|||||
ϕ |
θ |
|
ϕ |
|
θ |
ϕ θ |
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ2 |
θ2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
s = |
|
∫∫R2 cosθdϕdθ = R2 ∫dϕ∫cosθdθ = |
|
||||||||||
|
|
ϕ1 |
≤ϕ≤ϕ2 |
|
|
|
ϕ1 |
θ1 |
|
|
|||
|
|
θ1 |
≤θ≤θ2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
= R2 (ϕ |
2 |
|
−ϕ )(sin θ |
2 |
−sin θ ) (кв. ед.). |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
y
= R2 ,
113
Пример 4. Найти площадь части поверхности тора
x = (b +a cosθ)cosϕ, |
|
|
|
|
< a ≤ b) , |
y = (b +a cosθ)sin ϕ, (0 |
||
|
z = a sin θ |
|
|
|
ограниченной двумя меридианами ϕ = ϕ1 , ϕ = ϕ2 ( ϕ1 < ϕ2 ) и двумя паралле-
лями θ = θ1 , θ = θ2 ( θ1 < θ2 ). Чему равна поверхность всего тора? y
|
|
|
|
|
|
|
O |
|
|
C |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
a |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
Рис. 4.9. К примеру 4 |
|
|
|
|||||
Найдем коэффициенты Гаусса данной поверхности. Имеем: |
|
|||||||||||||
xϕ′ |
yϕ′ |
zϕ′ |
−(b + a cosθ)sin ϕ (b +a cosθ)cosϕ |
0 |
|
|||||||||
|
yθ′ |
|
|
= |
−a sin θcosϕ |
−a sin θsin ϕ |
|
. |
|
|||||
xθ′ |
zθ′ |
|
a cosθ |
|
||||||||||
E = ( x′ )2 |
+( y′ )2 +( z′ )2 = (b +a cosθ)2 , |
G = ( x′ )2 +( y′ )2 |
+( z′ )2 |
= a2 , |
||||||||||
ϕ |
|
ϕ |
|
ϕ |
|
|
|
|
|
θ |
θ |
θ |
|
|
F = x′ x′ + y′ y′ |
+ z′ z′ = 0 |
EG − F2 |
= a(b + a cosθ) . |
|
||||||||||
|
ϕ |
θ |
|
ϕ θ |
|
ϕ |
θ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫∫ |
|
|
|
ϕ2 |
θ2 |
|
|
|
|||
|
s = |
|
EG − F2 dϕdθ = a ∫dϕ∫(b + a cosθ) dθ = |
|
||||||||||
|
|
ϕ1 |
≤ϕ≤ϕ2 |
|
|
ϕ1 |
θ1 |
|
|
|
||||
|
|
θ1 |
≤θ≤θ2 |
|
|
|
|
|
θ=θ2 = |
|
|
|
||
|
|
|
|
= a(ϕ |
|
−ϕ ) (bθ+ a sin θ) |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
θ=θ1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
= a(ϕ2 −ϕ1 ) [b(θ2 −θ1 ) +a(sin θ2 −sin θ1 )] (кв. ед.). |
|
Чтобы найти площадь поверхности всего тора, нужно в полученное выражение для s подставить значения: ϕ1 = 0, ϕ2 = 2π, θ1 = 0 , θ2 = 2π. Получим
sполн. = 2πa 2πb = 4π2ab (кв. ед.)
114
Глава 5. Несобственные интегралы, зависящие от параметра
§1. Определение равномерной сходимости несобственных интегралов
a ≤ x < +∞,
Пусть функция f ( x, y) задана в области Пусть при каждом
c ≤ y ≤ d.
+∞
закрепленном y из [c, d] несобственный интеграл ∫ f ( x, y) dx сходится. То-
a
+∞
гда ∫ f ( x, y) dx будет представлять собою функцию переменной (параметра)
a
y , определенную в промежутке [c, d] (в дальнейшем будем обозначать эту функцию через I( y) , y [c, d]).
|
|
|
+∞ |
|
Утверждение, что несобственный интеграл ∫ f ( x, y) dx |
сходится при каж- |
|||
|
|
|
a |
|
дом y из [c, d], означает следующее: при каждом закрепленном y из [c, d] |
||||
|
A |
|
+∞ |
|
|
∫ |
f ( x, y) dx → |
∫ f ( x, y) dx . |
|
|
a |
A→+∞ |
a |
|
Следовательно, |
|
|
||
A |
|
|
|
|
+∞ |
|
+∞ |
|
|
∫ f ( x, y) dx − ∫ |
f ( x, y) dx → 0 , или ∫ f ( x, y) dx → 0 . |
|||
a |
a |
A→+∞ |
A |
A→+∞ |
А это означает, что для каждого y из [c, d] по любому ε > 0 можно указать
+∞
число M > 0 такое, что как только A > M , так сейчас же ∫ f ( x, y) dx < ε.
A
Важно заметить, что число M > 0 выбирается по ε > 0 , и для каждого y из
[c, d] оно будет, |
вообще говоря, |
своим, |
то есть M зависит и от ε, и от y : |
|||
M = M(ε, y) . |
|
|
|
|
|
|
Если же для любого ε > 0 можно указать число M > 0, зависящее только от |
||||||
ε (то есть одно |
и то же для |
всех |
y из [c, d]), |
такое, что как только |
||
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A > M , так сейчас же |
∫ f ( x, y) dx |
< ε сразу для всех |
y из [c, d], то несобст- |
|||
|
|
A |
|
|
|
|
115
+∞
венный интеграл ∫ f ( x, y) dx называется равномерно сходящимся относи-
a
тельно параметра y на [c, d].
Совершенно аналогично вводится понятие равномерной сходимости несобственных интегралов второго рода. Например, пусть функция f ( x, y) опреде-
a ≤ x < b, |
( a, b, c, d – конечные числа). |
лена в области |
|
c ≤ y ≤ d. |
b |
Пусть при каждом y из [c, d] несобственный интеграл ∫ f ( x, y) dx сходит-
a
b
ся. Ясно, что тогда ∫ f ( x, y) dx будет представлять собой функцию переменной
a
(параметра) y , определенную в промежутке [c, d].
b
Утверждение, что несобственный интеграл ∫ f ( x, y) dx сходится при каж-
|
|
|
|
|
|
a |
|
дом y из [c, d], означает следующее. При каждом закрепленном y из [c, d] |
|||||||
β |
|
b |
|
b |
β |
|
|
∫ |
f ( x, y) dx → |
∫ f ( x, y) dx ∫ f ( x, y) dx − ∫ |
f ( x, y) dx → 0 |
||||
a |
β→b−0 |
a |
|
a |
a |
β→b−0 |
|
|
|
|
|||||
|
b |
|
|
|
|
b |
|
|
∫ f ( x, y) dx → 0 |
∫ f ( x, y) dx→0 |
|||||
|
β |
|
|
β→b−0 |
b−γ |
γ→+0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
(здесь положено β = b − γ |
γ = b −β). А это означает, что для каждого y из |
||||||
[c, d] |
по любому ε > 0 |
можно указать |
число δ > 0 такое, что как только |
||||
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 < γ < δ, так сейчас же |
|
∫ f ( x, y) dx |
< ε. |
|
|
||
|
|
|
b−γ |
|
|
|
И здесь важно отметить, что число δ > 0 выбирается по ε > 0 , и для каждого y из [c, d] оно будет, вообще говоря, своим, то есть δ зависит и от ε, и от y :
δ = δ(ε, y) .
Если же для любого ε > 0 можно указать число δ > 0 , зависящее только от
ε (то есть одно и то же для всех y из [c, d]), такое, что как только 0 < γ < δ,
b
так сейчас же ∫ f ( x, y) dx < ε сразу для всех y из [c, d], то несобственный
b−γ
116
b
интеграл ∫ f ( x, y) dx называется равномерно сходящимся относительно па-
a
раметра y на [c, d].
§2. О непрерывности интеграла как функции параметра
Теорема. Пусть
a ≤ x < +∞,
1) функция f ( x, y) непрерывна в области c ≤ y ≤ d;
+∞
2) ∫ f ( x, y) dx = I( y) сходится равномерно относительно y на [c, d].
a
Тогда функция I( y) непрерывна на [c, d].
Возьмем любое y0 из [c, d] и закрепим его. Возьмем любое ε > 0 .
+∞
По условию ∫ f ( x, y) dx сходится равномерно относительно y на [c, d],
a
поэтому взятому ε > 0 отвечает число M > 0, зависящее только от ε, такое, что при всяком A, удовлетворяющем условию A > M , сразу для всех y [c, d] бу-
дет
|
+∞ |
|
|
ε |
|
|
|
|
|||
|
∫ f ( x, y) dx |
|
< |
|
|
|
|
3 . |
(1) |
||
|
A |
|
|
|
A > M . |
Выберем и закрепим какое-нибудь A, удовлетворяющее условию |
A
Положив ΨA( y) = ∫ f ( x, y) dx , неравенство (1) сразу для всех y [c, d] можно
a |
|
|
|
|
|
записать в виде: |
|
|
|
ε . |
|
|
I( y) − Ψ ( y) |
|
< |
(2) |
|
|
|
||||
|
A |
|
|
3 |
|
|
|
|
|||
+∞ |
A |
+∞ |
|
||
[I( y) −ΨA( y) = ∫ f ( x, y) dx − ∫ f ( x, y) dx = ∫ f ( x, y) dx]. |
|
||||
a |
a |
A |
|
Но ΨA( y) – собственный интеграл, зависящий от параметра y . По теореме о непрерывности собственных интегралов, зависящих от параметра, заключаем, что ΨA( y) C([c, d]), а значит, по теореме Кантора, ΨA( y) будет равномерно непрерывной на [c, d].
Следовательно, взятому ε > 0 отвечает δ > 0 , зависящее только от ε, такое,
117
что для любых двух точек y′ и y′′ из [c, d], для которых |
|
y′′− y′ |
|
< δ, будет |
|||||
|
|
||||||||
|
Ψ ( y′′) − Ψ ( y′) |
|
< |
ε . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
A |
A |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Для разности значений функции I( y) в точках y′ и y′′ |
имеем: |
I( y′′) − I( y′) =[I( y′′) − ΨA( y′′)]+[ΨA( y′′) − ΨA( y′)]+[ΨA( y′) − I( y′)]I( y′′) − I( y′) ≤ I( y′′) − ΨA( y′′) + ΨA( y′′) − ΨA( y′) +
+ |
|
Ψ ( y′) − I( y′) |
|
< |
ε + |
ε |
+ ε = ε. |
|||||||
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
3 |
3 |
3 |
||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
В частности, полагая y′ = y0 , y′′ = y , |
где |
y [c, d] – любое, но такое, что |
|||||||||||
|
y − y0 |
|
< δ, будем иметь |
|
I( y) − I( y0 ) |
|
< ε. Последнее означает, что функция |
|||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
I( y) непрерывна в точке |
|
y0 . Так как у нас точка y0 – любая из [c, d], то |
|||||||||||
заключаем, что I( y) C([c, d]). |
|
|
|
§3. Об интегрировании по параметру под знаком интеграла
Теорема. Пусть
a ≤ x < +∞,
1) функция f ( x, y) непрерывна в области c ≤ y ≤ d;
+∞
2) ∫ f ( x, y) dx сходится равномерно относительно y на [c, d].
a
Тогда справедливо равенство
d +∞ |
|
+∞ d |
|
|
||
|
∫ |
|
∫ |
|
|
(1) |
∫ |
f ( x, y) dx dy = |
∫ |
f ( x, y) dy dx , |
|||
c |
a |
|
a |
c |
|
|
причем несобственный интеграл, стоящий в правой части (1), сходится.
+∞
Возьмем любое ε > 0 . По условию ∫ f ( x, y) dx сходится равномерно от-
a
носительно y на [c, d], поэтому взятому ε > 0 отвечает число M > 0, завися-
щее только от ε, такое, что при всяком A, удовлетворяющем условию A > M , сразу для всех y [c, d] будет справедливо неравенство:
+∞
∫ f ( x, y) dx < d ε−c .
A
Выберем и закрепим какое-нибудь A, удовлетворяющее условию A > M .
118
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Полагая, как и раньше, |
ΨA( y) = ∫ f ( x, y) dx , предыдущее неравенство сразу |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
для всех y [c, d] можно записать в виде |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
I( y) − Ψ ( y) |
|
< |
ε |
. |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
d −c |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Так как |
I( y) C([c, d]) и |
|
ΨA( y) C([c, d]), то I( y) R([c, d]), |
||||||||||||||||
ΨA( y) R([c, d]). Поскольку имеет место равенство |
|
||||||||||||||||||
|
|
d |
|
d |
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
∫I( y) dy − ∫ΨA( y) dy = ∫[I( y) − ΨA( y)]dy , |
|
||||||||||||||||
то |
c |
|
c |
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
d |
d |
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
ε |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
∫I( y) dy − ∫ΨA( y) dy |
|
≤ ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
I( y) − ΨA( y) |
|
dy < |
|
(d −c) = ε. |
|
||||||||||
|
|
d −c |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
c |
c |
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A > M , |
||
Таким образом, получили: при любом A, удовлетворяющем условию |
|||||||||||||||||||
|
|
d |
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
оказывается |
∫I( y) dy − ∫ΨA( y) dy |
|
< ε. Последнее означает, что |
|
|||||||||||||||
|
|
c |
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
d |
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
∫I( y) dy = Alim→∞ ∫ΨA( y) dy |
(2) |
|||||||||||||||
|
|
|
c |
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
A
(именно так, ибо первый интеграл от A не зависит). Но ΨA( y) = ∫ f ( x, y) dx –
a
собственный интеграл, зависящий от параметра y . По теореме об интегрировании по параметру под знаком собственного интеграла можем написать
d |
d A |
|
A d |
|
|
|
|
|
|
∫ΨA( y) dy = ∫ ∫ |
f ( x, y) dx dy = ∫ ∫ |
f ( x, y) dy dx . |
||
c |
c a |
|
a c |
|
Теперь соотношение (2) может быть записано в виде
d |
|
A d |
∫I( y) dy = |
lim |
|
∫ ∫ |
||
c |
A→∞ a c |
f ( x, y) dy dx .
Нами установлено существование написанного здесь предела. Но тогда мы должны обозначать этот предел так:
+∞ d |
|
|
∫ |
|
|
∫ |
f ( x, y) dy dx . |
|
a |
c |
|
Таким образом, мы доказали сходимость несобственного интеграла, стояще-
119
го в правой части (1), и справедливость равенства (1).
§4. О дифференцировании по параметру под знаком интеграла
Теорема. Пусть
|
|
|
|
a ≤ x < +∞, |
непрерывна там и |
|
1) функция f ( x, y) определена в области |
|
|||||
|
|
|
|
c ≤ y ≤ d, |
|
|
имеет непрерывную частную производную f y′( x, y) ; |
|
|
||||
|
+∞ |
|
|
|
|
|
2) |
I( y) = ∫ f ( x, y) dx сходится при каждом y из [c, d]; |
|
||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
3) |
Ψ( y) = ∫ f y′( x, y) dx сходится равномерно относительно y на [c, d]. |
|||||
|
a |
|
|
|
|
|
Тогда: |
|
|
|
|
|
|
1) |
I′( y) существует при каждом y из [c, d]; |
|
|
|||
|
+∞ |
′ |
+∞ |
|
|
|
2) |
|
|
|
= ∫ f y′( x, y) dx ; |
|
|
I′( y) = Ψ( y) , то есть |
∫ f ( x, y) dx |
|
||||
|
|
a |
y |
a |
|
|
3) |
I′( y) C([c, d]). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a ≤ x < +∞, |
|
+∞ |
|
Так как f y′( x, y) непрерывна в области c ≤ y ≤ d |
и |
∫ f y′( x, y) dx схо- |
|||
|
|
|
|
|
|
a |
дится равномерно относительно |
y на [c, d], то Ψ( y) C([c, d]) (см. теорему |
|||||
|
d |
|
|
z |
|
|
§2) и ∫Ψ( y) dy существует. В частности, существует ∫Ψ( y) dy для любого z ,
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
удовлетворяющего условию c ≤ z ≤ d . По теореме §3 имеем |
|||||||||
z |
z +∞ |
|
|
+∞ z |
|
||||
∫Ψ( y) dy = ∫ |
|
∫ |
|
|
|
|
|
||
|
f y′( x, y) dx dy = ∫ |
∫ |
f y′( x, y) dy dx . |
||||||
c |
c |
|
a |
|
|
a |
c |
|
|
z |
|
|
yy==cz |
|
|
|
|
|
|
Но ∫ f y′( x, y) dy = f ( x, y) |
|
= f ( x, z) − f ( x, c) . Поэтому |
|||||||
|
|||||||||
|
|||||||||
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
+∞ |
|
+∞ |
|
|
|
|
∫Ψ( y) dy = ∫ f ( x, z) dx − ∫ f ( x,c) dx = I( z) − I(c), |
|||||||||
c |
|
|
|
a |
|
a |
|
|
|
|
|
14243 |
14243 |
|
|||||
|
|
|
|
|
=I( z ) |
|
=I(c) |
|
|
откуда
120