Госы 5к Надя / лекции_3 / int_ zaw_ot_ par / Математический анализ - Интегралы - Аксёнов - 2000 - 145
.pdfz |
|
I( z) = ∫Ψ( y) dy + I(c). |
(1) |
c
В правой части последнего равенства мы имеем интеграл с переменным верхним пределом от непрерывной функции. Следовательно, у правой части равенства (1) производная по z существует и равна Ψ( z) (см. теорему Барроу). Но тогда существует производная по z и y левой части равенства (1), причем
I′( z) = Ψ( z) . |
(2) |
Равенство (2) установлено для любого z [c, d]. Оно может быть записано и так: I′( y) = Ψ( y) , y [c, d].
Таким образом, доказано, что
1)I′( y) существует при каждом y из [c, d];
2)I′( y) = Ψ( y) , y [c, d];
3)I′( y) C([c, d]), ибо Ψ( y) C([c, d]).
§5. Признак равномерной сходимости несобственных интегралов
Теорема. Пусть
a ≤ x < +∞, |
и непрерывна там; |
1) функция f ( x, y) определена в области |
|
c ≤ y ≤ d |
|
2)функция ϕ( x) определена и непрерывна в [a, +∞) ;
3)f ( x, y) ≤ ϕ( x) при всех значениях y из [c, d] и x [a, +∞) .
+∞
Тогда, если несобственный интеграл ∫ϕ( x) dx сходится, то несобственный
a
+∞
интеграл I( y) = ∫ f ( x, y) dx сходится равномерно относительно y на [c, d].
a
Сходимость (и притом абсолютная) несобственного интеграла
+∞
∫ f ( x, y) dx при каждом y из [c, d] следует из признака сравнения.
a
Возьмем любое A, |
удовлетворяющее условию A > a , и закрепим его. Затем |
|||||||
возьмем любое B, удовлетворяющее условию B > A. Имеем при всех значениях |
||||||||
y из [c, d]: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
B |
|
B |
||
|
|
|||||||
|
∫ f ( x, y) dx |
|
≤ ∫ |
|
f ( x, y) |
|
dx ≤ ∫ϕ( x) dx . |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|||||
|
A |
|
|
A |
|
A |
Отсюда в пределе при B → +∞ при всех значениях y из [c, d] получаем
121
|
|
|
+∞ |
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
∫ f ( x, y) dx |
|
≤ ∫ϕ( x) dx . |
(1) |
||||
|
+∞ |
|
A |
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По условию, |
∫ϕ( x) dx сходится, поэтому |
|
|
|
|
|||||
A |
a |
+∞ |
+∞ |
A |
|
|||||
|
||||||||||
∫ϕ( x) dx → |
∫ϕ( x) dx |
∫ϕ( x) dx − ∫ϕ( x) dx → 0 |
||||||||
a |
A→+∞ |
a |
|
a |
A→+∞ |
|||||
|
a |
|
||||||||
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ϕ( x) dx → 0 . |
|
|
|||||
|
|
|
A |
|
|
A→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M > 0 такое, что как |
||
Последнее означает, что всякому ε > 0 отвечает число |
||||||||||
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
только A > M , так сейчас же ∫ϕ( x) dx < ε. |
Отметим, |
что здесь M зависит |
||||||||
|
|
|
A |
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
только от ε. В силу (1), при A > M и подавно будет |
∫ f ( x, y) dx |
< ε сразу для |
||||||||
|
|
|
|
+∞ |
|
A |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
всех y из [c, d]. А это означает, что |
∫ f ( x, y) dx сходится равномерно относи- |
a
тельно y на [c, d].
Замечание. Для несобственных интегралов второго рода, зависящих от параметра, имеют место теоремы, совершенно аналогичные теоремам §2–§5.
§6. Примеры к главе 5
Рассмотрим несколько примеров применения доказанных теорем к вычислению интегралов.
Пример 1. Рассмотрим интеграл
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I( y) = ∫e−x sin xy dx . |
|
|
|
|
|
|
(1) |
||||
Имеем: |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x=+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
e−x |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
∫e−x sin xy dx = − |
|
|
(sin xy + y cos xy) |
|
= |
|
|
. |
(2) |
|||
|
+ y |
2 |
|
|
+ y |
2 |
||||||
0 |
1 |
|
|
x=0 |
1 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Используя равенство (2), найдем величины некоторых других интегралов. 1. Отметим, что интеграл I( y) сходится равномерно относительно y на
122
любом промежутке [c, d]. В самом деле, имеем: |
|
e−x sin xy |
|
|
≤ e−x для любого |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
xx==+∞0 |
|
|
|
|
y [c, d] и для всех x [0, +∞); |
интеграл |
∫e−x dx = −e−x |
|
|
=1, |
т.е. схо- |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I( y) |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y на про- |
|||||
дится, тогда по теореме §5 |
|
сходится равномерно относительно |
||||||||||||||||||||||||||||
межутке [c, d]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f ( x, y) = e−x sin xy |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Отметим еще, что функция |
|
|
непрерывна |
в |
области |
|||||||||||||||||||||||||
0 ≤ x |
< +∞, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
≤ d. |
Тогда по теореме §2 имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
c ≤ y |
I( y) C([c, d]) I( y) R([c, d]) I( y) R([0, z]). |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
(здесь положено c = 0 , d = z , где z – любое конечное). По теореме §3 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
z |
+∞ |
|
−x |
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
z |
−x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
∫ |
|
∫e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
sin xy dx dy = ∫ |
|
|
sin xy dy dx . |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, интегрируя обе части равенства (2) |
по y |
|
от 0 |
до |
|
z , будем |
||||||||||||||||||||||||
иметь |
|
|
|
|
|
|
+∞ z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
−x |
|
|
|
|
|
|
|
ydy |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
∫e |
|
|
|
sin xy dy dx = ∫ |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
(3) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + y |
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
z |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
−x |
|
|
|
|
−x cos xy |
|
y |
=z |
|
−x 1 −cos xz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Но ∫e |
sin xy dy = −e |
|
= e |
(это равенство установлено |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
y |
=0 |
|
|
x |
|
|
|
||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
для x ≠ 0 ; оно верно и при x = 0 , если в этой точке понимать его в предельном смысле:
|
z |
|
z |
|
|
|
lim |
∫e−x sin xy dy = ∫lim (e−x sin xy) dy = 0 ; |
|||||
x→0 |
0 |
|
0 |
x→0 |
|
|
lim e−x 1 −cos xz = lim e−x 2 sin2 xz = 0 ). |
||||||
x→0 |
x |
x→0 |
x |
2 |
Тогда (3) для любого конечного z примет вид:
2. Имеем:
0 ≤ x < +∞,c ≤ y ≤ d.
|
+∞ |
|
−x 1 −cos xz |
1 |
2 |
|
|
|
|
∫ |
e |
),. |
|
||||
|
|
x |
dx = 2 ln (1 + z |
|
|
|||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
f |
′( x, y) = (e−x sin xy)′ |
= xe−x cos xy |
|
непрерывна в |
области |
|||
y |
|
|
y |
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
∫ f y′( x, y) dx = |
∫xe−x cos xy dx сходится равномерно |
относи- |
||||||
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
123
|
xe−x cos xy |
|
≤ xe−x для любого |
y [c, d] и |
|||||||||||||||||
тельно y на [c, d]. В самом деле, |
|
||||||||||||||||||||
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
xx==+∞0 =1, |
|
|
|
|
|
|
|
|||
x [0, +∞); |
|
∫xe−x dx = −( x +1)e−x |
|
т.е. |
|
сходится. |
Поэтому |
||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||
+∞ |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫xe−x cos xy dx |
сходится равномерно относительно |
|
y |
на промежутке [c, d]. |
|||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда по теореме §4 |
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
+∞ |
−x |
|
|
+∞ |
|
−x |
|
|
|
|
|
|
+∞ |
−x |
|
|
|||||
|
∫e |
|
|
= |
∫(e |
sin xy)′y dx = |
∫xe |
cos xy dx . |
|
||||||||||||
|
|
sin xy dx |
|
|
|
||||||||||||||||
|
0 |
|
|
y |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
Дифференцируя по y |
обе части равенства (2), получим для любого конечно- |
||||||||||||||||||||
го y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
−x |
|
|
|
|
|
1 − y2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
∫xe |
cos xy dx = |
|
. |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
(1 + y |
2 |
) |
2 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 2. Рассмотрим интеграл
+∞ |
|
dx |
|
|
I( y) = ∫ |
|
|
, |
|
x |
2 |
2 |
||
0 |
+ y |
|
|
|
|
|
|
|
где [c, d] – любой, но такой, что 1 ≤ c < d . Имеем:
+∞ |
|
dx |
|
|
1 |
|
x |
|
|
x=+∞ |
|
|
|
|
|
|
|||||
∫ |
|
|
= |
arctg |
|
|
||||
|
2 |
2 |
y |
y |
||||||
0 |
x |
+ y |
|
|
|
|
x=0 |
|||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y[c, d],
=2πy , y [c, d].
(4)
(5)
И здесь, используя равенство (5), найдем величины еще некоторых интегра-
лов. |
|
что интеграл I( y) |
сходится равномерно относительно y |
на |
|||||||||||||||||
1. Отметим, |
|||||||||||||||||||||
промежутке |
[c, d]. Действительно, |
имеем: |
|
1 |
|
≤ |
|
1 |
|
, |
y [c, d] |
и |
|||||||||
x2 + y2 |
x2 +1 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
+∞ |
|
dx |
|
|
|
xx==+∞0 |
= π, т.е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x [0, +∞); |
∫ |
|
|
= arctg x |
|
сходится. |
Следовательно, I( y) |
||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
2 |
||||||||||||||||||||
|
0 |
x |
+1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
сходится равномерно относительно y на [c, d]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Отметим |
еще, что функция |
f ( x, y) = |
|
1 |
непрерывна |
в области |
|||||||||||||||
x2 + y2 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
0 ≤ x < +∞, |
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
c ≤ y ≤ d. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
124