Задачи с параметрами и методы их решения

4. Подставив в любое, например в первое из данных уравнений, вместо x найденное значение k, имеем

61

3. Та им образом, решение уравнения (1) сводится нахождению орней уравнений:

а) x2 = 2a; б) x2 + x – a = 0.

25. Найти все значения параметра b, при аждом из оторых система уравнений

bx + 2y = b + 2,

2bx + (b + 1)y = 2b + 4

имеет хотя бы одно решение.

Подставив это выражение во второе уравнение системы, приходимравносильной системе

2. а) Если b = 0, то система (1) несовместна.

б) Если b = 3, то система (1) имеет бес онечно мно#о решений

5 – 3a

вида x = a, y = ---------------- , #де a — любое число.

2

в) Если b − 0 и b − 3, то система (1) имеет единственное решение

b + 2

x = ------------ , y = 0. b

3. Следовательно, данная система имеет хотя бы одно решение при любом b, роме b = 0.

4. Ответ: b Ý (–×; 0) Ÿ (0; +×).

26. При а их значениях параметров a и b система

8x + (a2 + ab + b2)y = 4,

(1)

(a – b)x + 26y = 2

имеет бес онечное множество решений?

1. На оординатной плос ости xOy множество точе (x; y), удовлетворяющих уравнениям системы (1), состоит из двух прямых.

62

2. Решением системы (1) являются точ и пересечения этих прямых. Поэтому данная система будет иметь бес онечное множество решений в том и толь о в том случае, о#да эти прямые совпадают.

3. В общем случае две прямые, заданные уравнениями y = = k1x + b1 и y = k2x + b2, совпадают, если k1 = k2 и b1 = b2 (при k1 − k2 они имеют одну точ у пересечения, при k1 = k2 и b1 = b2 точе пе-

ресечения у них нет).

4. Следовательно, система (1) будет иметь бес онечно мно#о решений, если совместна система

#де a − 0 и b − 0.

5.Решив систему (2), получаем a1 = –2, b1 = –6 или a2 = 6, b2 = 2.

6.Ответ: (–2; –6); (6; 2).

27.Найти значения параметра m, при оторых система уравнений

а) имеет единственное решение; б) не имеет решений;

в) имеет бес онечное множество решений.

1. Выразим x из уравнения (2) и подставим в уравнение (1):

2.Уравнение (5) (а, значит, и данная система) имеет единственное решение, если оэффициент при y не равен нулю, т. е. 1 – (m – 2)2 − 0, т. е. если m − 1 и m − 3.

3.Система не имеет решений, если оэффициент при y в уравнении (5) равен нулю, а правая часть не равна нулю, т. е.

1 – (m – 2)2 = 0,

(m – 2) – (m – 2)2 − 0,

что выполняется толь о при m = 1.

63

4. Система имеет бес онечное множество решений при условиях

1 – (m – 2)2 = 0,

(m – 2) – (m – 2)2 = 0,

оторые выполняются толь о при m = 3.

5.Ответ: а) m Ý (–×; 1) Ÿ (1; 3) Ÿ (3; +×); б) m = 1; в) m = 3.

28.При а их значениях c и d система уравнений

2.Система (2) имеет два решения: а) c = 0, d = 2; б) c = –2; d = 3. Та им образом, толь о при этих значениях c и d система (1) имеет решение x = 1, y = 1, но это не означает, что найденные значения параметров c и d обеспечивают единственность решения.

3.Мы установили по а толь о необходимое условие, оторому удовлетворяют ис омые параметры.

4.Достаточность же это#о условия должна быть установлена, либо опровер#нута в процессе провер и.

а) Если c = 0, d = 2, то получим систему

x – y = 0, x + y = 2,

оторая имеет единственное решение x = 1, y = 1. б) Если c = –2, d = 3, то получим систему

x + y = 2, 2x – y = 1,

оторая та же имеет единственное решение x = 1, y = 1. 5. Ответ: c = 0, d = 2 или c = –2, d = 3.

64

29. При а их значениях a для любо#о b найдется хотя бы одно c та ое, что система

2x + by = ac2 + c,

(1)

bx + 2y = c – 1

имеет по райней мере одно решение?

1. Система (1) при b − ä2 и при любых a и c имеет единственное решение

2. Если b = 2, то система (1) примет вид

2x + 2y = ac2 + c,

(2)

2x + 2y = c – 1.

3.Чтобы система (2) имела решения, должно выполняться условие ac2 + c = c – 1, т. е. ac2 = –1. Рассматривая последнее соотношение а уравнение относительно c, замечаем, что оно имеет решение при любых a Ý (–×; 0).

4.Если b = –2, то система (1) примет вид

2x – 2y = ac2 + c,

(3) –2x + 2y = c – 1.

5.Чтобы система (3) имела решения, должно выполняться условие ac2 + c = 1 – c, т. е. ac2 + 2c – 1 = 0. Рассматривая последнее соотношение а уравнение относительно c, замечаем, что оно имеет решения, если 1 + a l 0, т. е. a Ý [–1; +×).

6.Та им образом, при a Ý [–1; 0) все#да найдется та ое c, что для любо#о значения b заданная система имеет по райней мере одно решение.

7.Ответ: a Ý [–1; 0).

30.При а их значениях a и b системы уравнений

65

9– 2b2

=------------------ при любом значении параметра b.

7

2.Поэтому если при не оторых значениях параметров a и b заданные системы равносильны, то и система (2) должна иметь то же самое единственное решение. Подставив это решение во второе уравнение системы (2), получим

Полученные значения a и b выражают лишь необходимое условие, оторому должна удовлетворять ис омая пара значений a и b. Поэтому обе найденные пары подлежат провер е.

4. Пусть a = 2, b = 1. То#да система (2) примет вид

2x + 4y = 8, x + 2y = 4

и имеет бес онечно мно#о решений. Следовательно, пара a = 2, b = 1 не обеспечивает равносильность систем (1) и (2).

2

5. Пусть a = –-- , b = –1. То#да система (2) примет вид

3

2x – 4y = 0, x + 2y = 4

и имеет единственное решение x0 = 2, y0 = 1.

2

6. Ответ: a = –-- , b = –1.

3

31. При а их значениях параметра k система уравнений

имеет единственное решение?

66

1.Первое уравнение системы (1) определяет о ружность с центром в точ е (–2; 0) и радиусом r = 1.

2.После упрощения второ#о уравнения системы (1) получаем

уравнение (x – 3)2 + (y – 2)2 = k2, оторое определяет о ружность

сцентром в точ е (3; 2) и радиусом R = k.

3.Система (1) равносильна следующей:

4.Система (2) будет иметь единственное решение в двух случаях: а) о ружности асаются внешним образом; б) о ружности асаются внутренним образом.

5.Построим о ружности для случая а). Из рис. 12 видно, что о - ружности I и II в точ е N асаются внешним образом. В прямоу#ольном треу#ольни е O1AO2 #ипотенуза O1O2 равна сумме двух данных

радиусов 1 и k; поэтому (k + 1)2 = 22 + 52, от уда k1, 2 = ä29 – 1.

Рис. 12

67

6.Построим о ружности для случая б). Из рис. 12 видно, что о ружности I и III в точ е M асаются внутренним образом. Радиус о ружности III равен O2M = O2N + 2, от уда cледует, что k3, 4 =

=ä29 + 1.

7.Ответ: k1, 2 = ä29 – 1; k3, 4 = ä29 + 1.

32. При а их значениях параметра a система

x2 + y2 = z,

(1)

x + y + z = a

имеет единственное решение? Найти это решение.

1. Подставив выражение для z из перво#о уравнения системы (1) во второе, получим x2 + x + y2 + y = a, или

1

2. а) Если a < –-- , то уравнение (2) не имеет решений.

2

33. При а их значениях параметра a система

x2 + (y – a)2 = 1, y = |x|

имеет ровно два решения?

1.С #еометричес ой точ и зрения оличество решений системы — это оличество точе пересечения ривых, заданных уравнениями системы.

2.Первое уравнение системы является уравнением о ружности с радиусом 1 и с центром в точ е (0; a).

3.Значение параметра a определяет положение о ружности относительно осей оординат.

68

4.Графи фун ции y = |x| изображен на рис. 13, a.

5.По условию система должна иметь ровно два решения, следовательно, при аждом фи сированном значении a ривые должны иметь две общие точ и.

6.В зависимости от значений параметра a возможны следующие взаимные расположения ривых (рис. 13, б—з):

Рис. 13

69

7.Ита , система имеет два решения, если a Ý (–1; 1) Ÿ {2 }.

8.Ответ: a Ý (–1; 1) Ÿ {2 }.

34.В зависимости от значений параметров a и b решить систему

1.Если a = b = 0, то система (1) имеет следующие решения: x = 0, y — любое; x — любое, y = 0.

2.Если a = 0, b − 0, то система (1) не имеет решений.

3.Если a − 0, b = 0, то система (1) та же не имеет решений.

4.Рассмотрим, на онец, случай a − 0, b − 0. Возведя второе уравнение системы в уб, получим уравнение

x6y27 = b3.

Отсюда с учетом перво#о уравнения системы имеем

x7y31 = x6y27(xy4) = b3(xy4) = a,

т. е.

5. Подставив выражение (2) во второе уравнение системы (1), находим

6. Ответ: если a = b = 0, то x = 0, y Ý R и y = 0, x Ý R; если a = 0, b − 0 и a − 0, b = 0, то решений нет; если a − 0, b − 0, то x = a9b–31, y = b7a–2.

35. При а их значениях параметров a и b система

имеет не менее пяти решений?

1. Перепишем уравнение (1) в виде

70